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数学III 複素数平面の問題です。 原点をOとする複素数平面上において、複素数α...

rom********さん

2016/12/312:57:07

数学III 複素数平面の問題です。
原点をOとする複素数平面上において、複素数α、βの表す点をそれぞれA.Bとする。α、βが次の2つの式を満たすとき、次の各問いに答えよ。

ただし、iは虚数単位とする

|α|=2

2(1+i)αー(√3+i)β=0 (ルートは3にだけかかってる)

(1) |β|の値を求めよ

(2) β/αの偏角をθ(0≦θ≦パイ)とするとき、sinθの値を求めよ

(3) △OABの面積を求めよ

この問題の(2)が分かりません。
どなたか詳しく解説していただけないでしょうか?
(2)が分かれば(3)は簡単だと思うんですが・・・

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ベストアンサーに選ばれた回答

ysb********さん

2016/12/313:41:03

[romelt38さん]

(1)
β=2(1+i)α/(√3+i)
より、
|β|=2|1+i||α|/|√3+i|=2・√2・2/2=2√2

(2)
β/α=2(1+i)/(√3+i)
より、
arg(β/α)=arg(1+i)-arg(√3+i)=π/4-π/6=π/12
ゆえに、
θ=π/12
よって、
sinθ=sin(π/12)=(√6-√2)/4

(3)
△OABの面積をSとおくと、
S=(1/2)|α||β|sinθ
=(1/2)・2・2√2・(√6-√2)/4
=√3-1

質問した人からのコメント

2016/12/3 15:24:35

分かりやすい解答ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

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nor********さん

2016/12/314:30:14

(1)

β=2(1+i)α/(√3+i)=2(1+i)(√3-i)α/(√3+i)(√3-i)

=(1/2)[(√3+1)+(√3-1)i]α

|β|=|(1/2)[(√3+1)+(√3-1)i]α|=|α/2||√[(√3+1)^2+(√3-1)^2]

=√[(√3+1)^2+(√3-1)^2]=√8=2√2

(2)

β/α=(1/2)[(√3+1)+(√3-1)i]

θ=arg(β/α)=tan^(-1)[(√3-1)/(√3+1)]

=tan^(-1)[(√3-1)(√3-1)/(√3+1)(√3-1)]

=tan^(-1)[(3+1-2√3)/2]

=tan^(-1)(2-√3)

一般に

θ=tan^(-1)x

のとき

x=tanθ=sinθ/cosθ, x^2=sin^2θ/(1-sin^2θ)

sin^2θ=x^2/(x^2+1)

0≦θ≦πのとき

sinθ=x/√x^2+1

よって

x=2-√3のとき

sinθ=(2-√3)/√(2-√3)^2+1=(2-√3)/√(8-4√3)

=(1/2(4-2√3)/√(2(4-2√3))=(1/2√2)(√3-1)^2/(√3-1)

=(√3-1)/2√2=(√6-√2)/4


(3)

△OABの面積=(1/2)|α||β|sinθ=2・2√2・(√6-√2)/4=√2(√6-√2)

=2(√3-1)

era********さん

2016/12/313:43:39

β/α=2(1+i)/(√3+i)=(√3+1)/2+{(√3-1)/2}i
=√2)=(√6+√2)/4+{(√6-√2)/4}i
よってsinθ=(√6-√2)/4

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