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2016/12/13 13:00

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微分方程式y"-5y'+6y=lnx

微分方程式y"-5y'+6y=lnx 定数変化法でy"-6y'+5y=e^(-x)+xe^(-x) y(0)=0、y'(0)=1 の解き方教えてください。

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y''-5y'+6y=e^(-x)+xe^(-x) で Y''-5y'+6y=0 の解を求める。 特性方程式 λ^2-5λ+6=0 (λ-3)(λ-2)=0 より λ=3、2 よって y=Ae^(3x)+Be^(2x) が一般解 A、Bをxの関数とします。 y'=A'e^(3x)+B'e^(2x)+3Ae^(3x)+2Be^(2x) ここで A'e^(3x)+B'e^(2x)=0...① とする。 y'=3Ae^(3x)+2Be^(2x) になるので、 y''=3A'e^(3x)+2B'e^(2x)+9Ae^(3x)+4Be^(2x) を y''-5y'+6y=e^(-x)+xe^(-x) に代入して 3A'e^(3x)+2B'e^(2x)+9Ae^(3x)+4Be^(2x) -5{3Ae^(3x)+2Be^(2x)}+6{Ae^(3x)+Be^(2x)}=e^(-x)+xe^(-x) 3A'e^(3x)+2B'e^(2x)=e^(-x)+xe^(-x)....② ①②を連立 -B'e^(2x)=e^(-x)+xe^(-x) B'=-e^(-2x)(e^(-x)+xe^(-x)) よって B=-∫e^(-3x)+xe^(-3x)dx =(1/9)e^(-3x)*(3x+4)+C1 A'e^(3x)=-B'e^(2x) より A'e^(3x)=(e^(-x)+xe^(-x)) A'=e^(-4x)+xe^(-4x) A=∫e^(-4x)+xe^(-4x) dx =-1/16e^(-4x)*(4x+5)+C2 これらのA,Bを y=Ae^(3x)+Be^(2x) に代入して y=C1e^(3x)+C2e^(2x)-1/16e^(-x)*(4x+5)+(1/9)e^(-x)*(3x+4) =C1e^(3x)+C2e^(2x)+(1/144)e^(-x)*(12x+19) 初期条件x=0 で y(0)=C1+C2+(19/144)=0 y' =3C1e^(3x)+2C2e^(2x)-(1/144)e^(-x)*(12x+19) +(12/144)e^(-x) y'(0)=3C1+2C2-(7/144)=1 より C1=21/16 C2=-13/9 になりました。 以上より y=(21/16)e^(3x)-(13/9)e^(2x)+(1/144)e^(-x)*(12x+19)