xがどんな実数解を取っても、不等式kx^2+2kx+4k+1<0が常に成り立つようなkの範囲を求めよ。

xがどんな実数解を取っても、不等式kx^2+2kx+4k+1<0が常に成り立つようなkの範囲を求めよ。

補足

場合分けしますか? やり方わかりません

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(1)グラフが上に凸の放物線である。 (2)方程式が実数解をもたない。 以上の条件を同時に満たしていればよいので、 (1)よりk<0…① (2)より、D/4=k^2-k(4k+1)<0 これを解くと、 k^2-4k^2-k<0 -3k^2-k<0 3k^2+k>0 k(3k+1)>0 k<-1/3,0<k…② ①かつ②より、求めるkの範囲はk<-1/3

その他の回答(3件)

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f(x)=kx^2+2kx+4k+1<0 x→∞で_f(x)<0_⇒___k<0 k<0のとき、 xのすべてで_f(x)<0__⇔_f(x)=0_の実数解がない_⇔_判別式<0 k^2-k(4k+1)<0 k(-3k-1)<0 ___k<0により -3k-1<0 -1/3<k<0・・・答え

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不等式としか書かれていないので k=0(一次不等式のとき)とk≠0(二次不等式のとき) にわけて考える 解答 [1]k=0のとき 不等式は、1<0となるから題意を満たさない [2]k≠0のとき 二次不等式kx²+2kx+4k+1<0が常に成り立つ条件は y=kx²+2kx+4k+1のグラフで、yの値が常に負 すなわち、上に凸でx軸と共有点をもたないことであるから k<0 かつ 判別式<0 D/4=k²-k(4k+1)<0 -3k²-k<0 3k²+k>0 k(3k+1)>0 k<-(1/3) , 0<k k<0より、k<-(1/3) [1],[2]より、k<-(1/3)…(答)

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y=kx²+2kx+4k+1 まず最初にkが0かどうかです。 こういう問題ではx²の係数がどうかです。 k₌0の時 1<0で駄目です。 ②k>0の時必ずしも yが常に負とは限らない。適当なxの値で正になる場合もある。 だから少なくとも k<0です。 y₌k(x+1)²+3k+1 yは上に凸の二次関数です。 最大値₌3k+1これが<0です。 ∴k<-1/3 ∴共通範囲を求めて k<-1/3 もし kx^2+2kx+4k+1>0 なら 今度はk>0の範囲で最小値₌3k+1>0です。 それと今度はk₌0でもOKですね。 だから最小値,最大値を求めるかどちらかです。