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2変数関数の極値に関する質問です。

cpr********さん

2017/1/1121:59:19

2変数関数の極値に関する質問です。

f(x,y)=2x^3-3x^2+6xy-3y^2の極値を求めます。
fxx=A fxy=B fyy=Cとおきます。
極値の候補点は計算より(1/2,+-1/2),(1,0),(0,0)と分かりました。
ここで質問です。
(x,y)=(1/2,1/2)の時、A=0になってしまうのですが、この場合、この点を極値としても問題ありませんか?どなたか解説をお願いします。

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cpr_lacroさん

f(x,y)=2x³-3x²+6xy-3y²


極値候補は(0,0)のみですが…


fx=6x²-6x+6y=6(x²-x+y)
fy=6(x-y)

fx=fy=0 ⇔ x²-x+y=x-y=0 ⇔ x=y=0

よって停留点(極値候補)は(0,0)のみ。

fxx=12x-6
fyy=-6
fxy=6

J=fxxfyy-fxy²=(12x-6)(-6)-6²=-72x

J(0,0)=0だから、さらに調べる必要あり。

x=0に沿って(0,0)に近づくとき(ただしy≠0) f(0,y)=-3y²<0

x=y(>)に沿って(0,0)に近づくとき f(x,y)=2x³>0

よって(0,0)は極値にならない。

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