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6で割ると5余り、7で割ると3余るようか2桁の自然数で最大のものの求め方を教えて...

kw1********さん

2017/1/1816:21:52

6で割ると5余り、7で割ると3余るようか2桁の自然数で最大のものの求め方を教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

hir********さん

2017/1/1816:34:15

N=6a+5=7b+3、となる。

つまり、6a+2=7bを解くと、特別解が(a、b)=(2、2)だから、
6(a-2)=7(b-2)、と変形出来る。
7と6は互いに素から、kを整数として、a-2=7k、b-2=6k‥‥①

従って、N=6a+5=7b+3=42k+17.
これが2桁だから、10≦42k+17≦99 → 0≦k≦1。
・最大は、k=1だから、N=42k+17=59
・最小は、k=0だから、N=42k+17=17


質問者:kw1dddさん。2017/1/1816:21:52

質問した人からのコメント

2017/1/19 13:03:54

わかりやすい解説ありがとうございました!
助かりました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

sno********さん

2017/1/1816:47:58

整数m,nを用いて表すと、
▶︎6で割ると5余るので(2桁の自然数)=6m+5
▶︎7で割ると3余るので(2桁の自然数)=7n+3
と表すことができる。

二つはイコールなので、
6m+5=7n+3
5-3=7n-6m
2=7n-6m
7n-6m=2
となる整数m,nを探す。

7n-6m=2...❶

この式のイコールが成り立つm,nの組み合わせは沢山あるけど、そのうちの解の
1つは、例えば「n=2、m=2」である。
確かめてみると、7×2-6×2=2
逆にすると、2=7×2-6×2...❷


7n-6m=2...❶の右辺に❷を代入すると
7n-6m=7×2-6×2
わざと移項すると
7n-7×2=6m-6×2
7(n-2)=6(m-2)
である。
つまり、
7n-6m=2...❶という式は、
7(n-2)=6(m-2)に変形できると分かった。

7(n-2)=6(m-2)について。

7と6は互いに素であるから、この式のイコールが成り立つためには、
「(n-2)=6の倍数、かつ(m-2)=7の倍数」
でなければいけない。
整数kを用いて表すと、
(n-2)=6k、かつ、(m-2)=7k
つまり、
n=6k+2、かつ、m=7k+2...(★1)
である。

ここで、(2桁の自然数)=6m+5は、2桁なのだから、
10≦6m+5≦99が成り立つ。
それぞれ-5すると
5≦6m≦95
ここで(★1)より、
5≦6(7k+2)≦95
5≦42k+12≦95
それぞれ-12すると
-7≦42k≦83
それぞれ÷42すると
-7/42≦k≦83/42
-1/6≦k≦1.976..
よって最大の整数kは1であるから、
k=1を(★1)に代入すると
m=7+2=9
よって、
(2桁の自然数)=6m+5=6×9+5=59

答え:最大値59

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