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微分方程式で、線形と非線形の見極め方について。従属変数yおよびその導関数につ...

k24268917さん

2017/2/709:21:57

微分方程式で、線形と非線形の見極め方について。従属変数yおよびその導関数について一次式の場合だけが「線形」という記述を見かけたのですが、よくわかりません。

独立変数などを含む場合もお話頂ければ、幸いです。

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ssm71828さん

2017/2/714:23:03

「従属変数yおよびその導関数について一次式の場合だけが線形」。
これに尽きるのですが、どこがわからないのですか?
式で書けば、
f(x, y, dy/dx, d^2y/dx^2, d^3y/dx^3, ..., d^ny/dx^n)=0.
なる関係式が、n階(常)微分方程式です。
これにおいて、yとその導関数について一次式になっているもの、すなわち、
R[0](x)*(d^ny/dx^n)+R[1](x)*(d^(n-1)y/dx^(n-1))+....+R[n-1]*(dy/dx)+R[n]*y=Q(x).
のかたちに限ります。(R[k](x), Q(x)はxの関数)
----------------------
※ 具体例でいえば、
(sin(x))*y'''+x^2*y"+(1/x^3)*y'+(x^2-1)y=0,
(1-x^2)*y" - 2xy+2y=0,
y"-y=sin(x),
などです。もちろん、(y')^2, y"*y などがあると線形ではありません。

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