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ベキ等行列(A^2=Aを満たす)のジョルダン標準形を教えてください!

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ID非公開さん

2017/2/1314:20:19

ベキ等行列(A^2=Aを満たす)のジョルダン標準形を教えてください!

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ベストアンサーに選ばれた回答

yyu********さん

2017/2/1400:10:30

基本的に下の方の回答でよろしいのですが、最小多項式の議論だけ少し違うので注意してください

べき等行列Aは
A(A-E)=O
を満たすことからAの最小多項式f(x)は
f(x)=x
f(x)=x-1
f(x)=x(x-1)
のどれかになります(f(x)=x(x-1)とは限りません)。このときそのどれであってもf(x)が重解をもたないのでAは対角化可能、というわけです

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質問した人からのコメント

2017/2/19 21:06:48

ありがとうございますm(_ _)m

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

c18********さん

2017/2/1318:23:09

# う~ん、これでいいのかな?

A^2 = A
より
A(A-E)=0

よって A の最小多項式f(x)
f(x) = x(x-1)
最小多項式の因数 x, (x-1) の指数が 1 なので A は、対角化できます。

最小多項式の因数 = 0 の解は、重複度を除いて 特性方程式の解に一致するので
A は、固有値として 0 と 1を 合計計 (Aの次数個)を持ちます。

従って A のジョルダンの標準形は
対角行列であり、その 対角成分に m 個(m≧1) の 0 と n個の(n≧1) 1
計 m + n = A の次数(=Aの行数=Aの列数)個を並べたものです

例 A の次数 が 3 の場合

0 0 0
0 0 0
0 0 1

0 0 0
0 1 0
0 0 1

# 確認:
# 最小多項式は、最高次数の係数が1の多項式で
# スカラー変数 x を 行列Aで置き換え、定数項にはEを
# つけた A の多項式が 0 となるものの中で 最高次数
# が一番小さい多項式です。
# つまり、
# f(x)を最高次数の係数が1の多項式とすると
# f(A) = Оを満たす f(x) の中で最も次数が小さいもの
# です。
# 最小多項式 f(x) が
# f(x)=(x-a)^ℓ(x-b)^m(x-b)^n ・・・
# とすると
# |A-λ|=0 から導かれる 特性方程式 g(x)は
# g(x)=(x-a)^ℓ'(x-b)^m'(x-b)^n' ・・・ = 0
# ℓ'≧ℓ、m'≧m、n'≧n …
# のようになります。

では、では。

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