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(A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)を証明して頂きたいです。できる方、どうぞよろしくお願い...

k24********さん

2017/2/1414:17:09

(A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)を証明して頂きたいです。できる方、どうぞよろしくお願い致します。

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ベストアンサーに選ばれた回答

たろうさん

2017/2/1419:38:21

x∈A∩B⇔x∈A∧x∈B

(x,y)∈A×B⇔x∈A∧y∈B
を使います

(A×B)∩(B×A)の任意の要素(x,y)について
(x,y)∈(A×B)∩(B×A)

(x,y)∈(A×B)∧(x,y)∈(B×A)

(x∈A∧y∈B)∧(x∈B∧y∈A)

(x∈A∧x∈B)∧(y∈A∧y∈B)

(x∈A∩B)∧(y∈A∩B)

(x,y)∈(A∩B)×(A∩B)
ですから
(A×B)∩(B×A)⊂(A∩B)×(A∩B)
です

これを逆にたどれば
(A×B)∩(B×A)⊃(A∩B)×(A∩B)
も分かりますから
(A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)
が示せました

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