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標本平均の期待値についての質問です。 ※□を空白代わりにしています。 □母集団...

fby********さん

2017/2/1813:09:43

標本平均の期待値についての質問です。
※□を空白代わりにしています。

□母集団の母平均をμ、母標準偏差σと仮定する。

□母集団から大きさ n の無作為標本を復元抽出するとき標本平均 m は
□□m = (X1+X2+ …… +Xn)/n
□X1,X2,□……,Xn は確率変数だから m も確率変数である。
□X1,X2,□……,Xn は平均μの確率分布にしたがうから
□□E[X1] = E[X1] = …… = E[Xn] = μ
□□E[m] = E[(X1+X2+ …… +Xn)/n]
□□□□ = (1/n)(E[X1]+E[X2]+ …… +E[Xn])
□□□□ = (1/n)nμ = μ
□X1,X2,□……,Xn は分散σ^2の確率分布にしたがうから
□□V[X1] = V[X1] = …… = V[Xn] = σ^2
□□V[m] = V[(X1+X2+ …… +Xn)/n]
□□□□ = V[X1/n]+V[X2/n]+ …… +V[Xn/n])
□□□□ = (1/n)^2{ (V[X1] + V[X2] + … … +V[Xn]) }
□□□□ = nσ^2/n^2 = σ^2/n

□ここまではたいていの参考書に書いてあり、数式的には納得するしかないのですが、標本平均の期待値、つまりは
□□□□ '平均の平均値'
という概念が直感的にピンときません。そこで 10000 人が受けたテストの得点を母集団とする例で考えます。問題は10問あり、配点は各々10点です。この母集団から 10 個の得点を無作為抽出します。
□□□□X1□X2□X3□X4□X5□X6□X7□X8□X9□X10□ m
抽出1□ 50□40□70□70□60□90□40□60□40□80□□60
抽出2□ 80□60□30□80□30□70□50□40□50□70□□56
抽出3□ 50□90□60□50□60□90□30□80□60□80□□65
□抽出を繰り返すたびに m の値は少しずつ異なるはずです。n 回繰り返したときの m を m1,m2,……,mn で表すとその平均は
□□(m1+m2+ …… +mn)/n
となりますが、これが μ に等しくなるのだと考えていいのでしょうか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

qas********さん

2017/2/1819:21:38

貴方の理解で概ね間違いではありませんが、一つだけ訂正すると最後の一文

> □□(m1+m2+ …… +mn)/n
> となりますが、これが μ に等しくなるのだと考えていいのでしょうか?

は間違いです。
m1, m2, …, mnは確率変数なのでぴったりμに一致することはまずありません。
同様に (m1+m2+ …… +mn)/n もぴったりμに一致することはまずありません。
(いつも同じ値しかでないというのであれば別ですが)

もう少し正確に記載するのであれば、「n→∞のときμに等しくなる」とするか「nが大きいほどμに近い値になる」とでもすると良いでしょう。

質問した人からのコメント

2017/2/18 21:36:55

丁寧な回答まことにありがとうございました。
また、わからないことがありましたらよろしくお願いいたします。

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