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数学の問題で教えてほしいです! 7x^3-21xy^2+13y^3+27=0で定められるxの陰関数...

jad********さん

2017/2/2721:17:32

数学の問題で教えてほしいです!

7x^3-21xy^2+13y^3+27=0で定められるxの陰関数yの極値を求めてほしいです!

途中式もつけてほしいです!

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jadm5882さん

7x³-21xy²+13y³+27=0 …(1)

両辺を x で微分

21x²-21y²-42xyy´+39y²y´=0

7x²-7y²-14xyy´+13y²y´=0 …(2)

極値では y´=0だから 7x²-7y²=0 ∴y=±x

これを(1)に代入 7x³-21x³±13x³+27=0 (複号同順)

実数の範囲でこれと解くと (x,y)=(3,3)、(1,-1)


(2)の両辺を x でさらに微分して y‘’ の符号を調べてもいいが、煩雑なので下の公式を使うと

f(x,y)=7x³-21xy²+13y³+27

fx=21x²-21y²
fy=-42xy+39y²
fxx=42x

∴y‘’(=φ‘’)=-fxx / fy=-42x/(-42xy+39y²)=14x/(14xy-13y²)

φ‘’(3,3)=14/3 >0だから(3,3)は極小値

φ‘’(1,-1)=-14/27 <0だから(3,3)は極大値



◆陰関数の微分 f(x, y)=0 両辺を x で微分 fx+fyφ´=0 …①

fy≠0だから φ´=-fx / fy …②

*①の両辺をさらに x で微分すると

(fxx+fxyφ´)+(fyxφ´+fyyφ´²+fyφ‘’)= fxx+ fyφ‘’+(2fxyφ´+fyyφ´²)=0 …③

∴φ‘’=-(fxx+2fxyφ´+fyyφ´²)/fy ②を代入して整理

=(2fxyfxfy-fxxfy²-fyyfx²)/fy³

φ´=0(fx=0)のとき φ‘’=-fxx / fy



グラフ http://m.wolframalpha.com/input/?i=7x%C2%B3-21xy%C2%B2%2B13y%C2%B3%...

質問した人からのコメント

2017/2/27 22:03:38

こんな長いのほんとにありがとうございます
わかりやくてとてもいいです!

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