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このノートの内容について質問です。 (1) 「平角(180°)を3等分出来る角度は...

unea1116さん

2017/3/2104:10:42

このノートの内容について質問です。


(1)
「平角(180°)を3等分出来る角度は60°以外はありません。これが円周率の値が3である事を意味する事だと、分かる人はいない。

」について、180°を3等分できる角度は明らかに60°以外ありません。それがなぜ円周率の値が3であることを意味しているのでしょうか?


(2)
「半径rの円周で考えると、円周をベクトルrで区切ると、6等分出来るから、円周上の各点ベクトルの大きさも、一直線上に向きを揃えれば、ベクトル6rの大きさになる。」と書かれていますが、まずベクトルrというのは大きさがrのベクトル、ということでいいのでしょうか?
確かに半径rの円に内接する正6角形の1辺の長さはrですから「6等分できるから」の意味も分かります。ですが、「円周上の各点ベクトルの大きさも、一直線上に向きをそろえれば、ベクトル6rの大きさになる」というところはおかしくないのでしょうか?
ここがおかしいというのはつまり、その先で書かれている「弦のベクトルと円弧のベクトルの大きさが同じ」というところが問題なんだと思います。
弦と円弧の長さが同じになることをしっかり証明していただけないでしょうか?
見ただけで明らかに長さは違うと思います。長さ0の点ベクトルがいくらあろうと、結果の長さは有限値なのですから、その有限値が違うというのを長さ0の点ベクトルだけで説明するのは安直すぎです。

長文で申し訳ないですが(2)はつまり、弦と円弧の長さが同じになる証明をしてほしい、ということです。


(3)
例えばある2点X,Yとその2点を通る半円があるとします。弦と円弧の長さが同じとしているので、この半円の長さとこの2点X,Yを通る直線の長さも同じですよね?

つまり(XYの長さ)=(X,Yを結ぶ円弧(半円)の長さ)

今、2点X,Yの中点Mから垂線を半円まで伸ばし、半円との交点をSとします。
弦と円弧の長さが同じですから、線XSの長さとX,Sを結ぶ円弧の長さ、線SYの長さとS,Yを結ぶ円弧の長さが同じですよね。

よって、(XSの長さ)=(X,Sを結ぶ円弧の長さ)、(SYの長さ)=(S,Yを結ぶ円弧の長さ)

X,Sを結ぶ円弧とS,Yを結ぶ円弧を合わせるとX,Yを結ぶ円弧になりますので、X,Sを結ぶ円弧の長さとS,Yを結ぶ円弧の長さの和はX,Yを結ぶ円弧の長さになります。

よって、(X,Sを結ぶ円弧の長さ)+(S,Yを結ぶ円弧の長さ)=(X,Yを結ぶ円弧の長さ)

これらより、(XSの長さ)+(SYの長さ)=(XYの長さ)となります。
両辺を2乗すると、xの2乗をx^(2)と表すことし、乗算記号を*とすると、
(XSの長さ)^(2)+2*(XSの長さ)*(SYの長さ)+(SYの長さ)^2=(XYの長さ)^2
となりますが、ピタゴラスの定理より
(XSの長さ)^(2)+(SYの長さ)^(2)=(XYの長さ)^2
です。今(XSの長さ)も(SYの長さ)も何も決めていないため0でなくともこれらが成り立ち、矛盾となります。

つまり、円弧と弦の長さが等しいとするとピタゴラスの定理が間違っているか、私の証明が間違っていることになります。
私の証明に関して間違っていると感じる点があれば証明を、間違っていないと思われるのであれば、ピタゴラスの定理が間違っていると思われるのでしょうか?
そのあたりについて、解答をよろしくお願いします。



随分長文になってしまいましたが、これら3つについてご回答よろしくお願いします。

この質問は、ueno_kazuo_0808さんに回答をリクエストしました。

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ueno_kazuo_0808さん

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2017/3/2112:13:19

ベクトルは線分に向きを付けたものです。円周はコンパスで描いた、点の軌跡です。だから円周には線分がありません。あるのは各点の接線方向の向きだけです。そのために半径rの長さに向きを付けた ベクトルrだけで、円周も面積も求められるのです。

直線上をベクトルrで、6区切ると 長さは6rになります。
ベクトルrで描いた円周をコンパスrで区切ると、ぴったり6rになります。円周上の2点間の距離は弦rのベクトル(コンパスr)の大きさで、対する円弧のベクトルの大きさと同じになるから、円周の長さも6rとなるのです。

円弧と弦のなす図形で向きを揃えた線分で一巡すると0になります。
だから、円弧のベクトル+弦ベクトル=0、
円弧のベクトル=ー弦ベクトル(円弧の向き)、になり、同じ線分の長さになるのです。

弦同士なら、ピタゴラスの定理が成立するが、円弧と弦とでは、円弧に線分が無いから ピタゴラスの定理は成立しません。

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