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次の数学の問題の解法を教えてください。 整数m、n関して、次の等式が成り立...

y3f********さん

2017/3/2719:41:38

次の数学の問題の解法を教えてください。

整数m、n関して、次の等式が成り立つ時、m×nの値を求めよ。

20/2^5 = 1/2^m + 1/2^n

正解は3なのですが、解法が良く分かりません。数Ⅱ、数Bまでの内容で解法を教えて頂けますでしょうか。よろしくお願いいたします。

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hir********さん

2017/3/2720:32:59

2^m=α、2^n=β、とする。α>0、β>0
m、nは整数だから、αもβも整数。

よって、20/2^5 =5/8=1/α+1/β ‥‥①、になる。
m≧nと仮定しても一般性を失わないから、α≧βである。
従って、1/β≧1/αであり、①より、1/β=5/8-1/α>0だから、
2^m=α>8/5>1.
よって、m>0、n>0 ‥‥②

①において、5/8=1/α+1/β≦2/β → β=1、2、3.
・β=1の時、①より、1/α=-3/8となり、不適。
・β=2の時、①より、α=8 → αβ=8=2^(m+n)
つまり、m+n=4だから、m≧nより、(m、n)=(3、1)、(2、2)
しかし、(m、n)=(2、2)の時、①より、5/8=1/4+1/4、となって不適。
(m、n)=(3、1)の時は、5/8=1/8+1/2、となり適する。
・β=3の時、①より、α=24/7、となって不適。

以上から、m≧nと仮定して、(m、n)=(3、1)だから、
逆でも良いから、mn=3.


質問者:y3fast3liveさん。2017/3/2719:41:38

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濱村凖さん

編集あり2017/3/2721:47:18

20/2⁵=(2^m+2^n)/2^(m+n)
5×2^(m+n-3)=2^m+2^n⋯*
m=nとすると
*の右辺は
2^m+2^m=2^(m+1)となって
5を因数に持たないので不適
よって、m≠nであり
m<nとしても一般性を失わない。
このとき、*より
5×2^(m+n-3)=2^m(1+2^(n-m))
m+n-3=m
n=3
1+2^(n-m)=5
n-m=2
m=1
従って
mn=3

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