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aとbが互いに素な時、a+bとabは互いに素ですか?もしそうなら証明と共に教えてくだ...

chi********さん

2017/4/114:40:43

aとbが互いに素な時、a+bとabは互いに素ですか?もしそうなら証明と共に教えてください。GCD(a、b)=1の時、GCD(a+b、ab)=1が成立するか、ということです。よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

aoi********さん

2017/4/203:25:32

>aとbが互いに素な時、a+bとabは互いに素ですか?もしそうなら証明と共に教えてください。GCD(a、b)=1の時、GCD(a+b、ab)=1が成立するか、ということです。よろしくお願いします。

aとbが互いに素な整数ならば、a+bとabは互いに素になります。
逆に、aとbが整数のとき、a+bとabが互いに素な整数ならば、aとbは互いに素になります。

------------------------------------------------------------
【ベズーの補題】
aとbが互いに素な整数となる必要十分条件は、ax+by=1 を満たす整数x, yが存在することです。

GCD(a, b)=1 ⇔ ax+by=1

------------------------------------------------------------
【補題1】(ユークリッド『原論』第7巻 命題28)
aとbが互いに素な整数ならば、a+bとaは互いに素になります。
同様にして、
aとbが互いに素な整数ならば、a+bとbは互いに素になります。
逆も成立します。

GCD(a, b)=1 ⇔ GCD(a+b, a)=1 ⇔ GCD(a+b, b)=1

(補題1の証明)
ベズーの補題より、
GCD(a, b)=1
⇔ ax+by=1
⇔ a(x-y)+(a+b)y=1
⇔ (a+b)y+a(x-y)=1
⇒ GCD(a+b, a)=1

GCD(a, b)=1
⇔ ax+by=1
⇔ (a+b)x+b(y-x)=1
⇒ GCD(a+b, b)=1

逆の証明:
GCD(a+b, a)=1
⇔ (a+b)x+ay=1
⇔ a(x+y)+bx=1
⇒ GCD(a, b)=1

GCD(a+b, b)=1
⇔ (a+b)x+by=1
⇔ ax+b(x+y)=1
⇒ GCD(a, b)=1
(証明終わり)
------------------------------------------------------------
【補題2】
aとcが互いに素な整数で、かつbとcが互いに素な整数ならば、
abとcが互いに素になります。(ユークリッド『原論』第7巻 命題24)
逆も成立します。(ユークリッド『原論』第7巻 命題23)

GCD(a, c)=1, GCD(b, c)=1 ⇔ GCD(ab, c)=1

(補題2の証明)
ベズーの補題より、
GCD(a, c)=1, GCD(b, c)=1
⇔ ax+cy=1, bu+cv=1
⇒ (ax+cy)(bu+cv)=1
⇔ ab・xu+c(axv+byu+cyv)=1
⇔ ab・m+cn=1, m=xu, n=axv+byu+cyv
⇒ GCD(ab, c)=1

逆の証明:
GCD(ab, c)=1
⇔ ab・m+cn=1
⇔ a・bm+cn=1, b・am+cn=1
⇒ GCD(a, c)=1, GCD(b, c)=1
(証明終わり)
------------------------------------------------------------
【定理】
aとbが互いに素な整数ならば、a+bとabは互いに素になります。
逆に、aとbが整数のとき、a+bとabが互いに素な整数ならば、aとbは互いに素になります。

GCD(a, b)=1 ⇔ GCD(a+b, ab)=1

(定理の証明)
補題1より、
GCD(a, b)=1 ⇔ GCD(a+b, a)=1, GCD(a+b, b)=1
補題2より、
GCD(a+b, a)=1, GCD(a+b, b)=1 ⇔ GCD(a+b, ab)=1
したがって、
GCD(a, b)=1 ⇔ GCD(a+b, ab)=1
(証明終わり)

【参考文献】

ベズーの等式 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%BA%E3%83%BC%E3%81%AE%...

『ユークリッド原論』(縮刷版)、共立出版、1996年6月。ISBN 4-320-01513-4
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320015135

以上、何かのご参考になれば幸いです。

質問した人からのコメント

2017/4/2 16:54:21

たくさんの回答ありがとうございました!この問題間違えて二回質問してしまっていて、今気づきましたm(_ _)m なので、前回の回答者様の回答が不満だったというわけではありません。しかし、面白い別解をいくつか知ることができたので結果的には良かったのかなと思います。

ベストアンサー以外の回答

1〜4件/4件中

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あれれさん

2017/4/203:00:17

a+bとaは互いに素
a+bとbは互いに素
よってa+bとabは互いに素

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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yyu********さん

編集あり2017/4/123:24:04

別証明ということで一つ。

aとbが互いに素なので
xa+yb=1
となる整数x,yが存在します。
両辺を二乗すると
x²a²+y²b²+2xyab=1
∴(x²a+y²b)(a+b)-(x²+y²)ab+2xyab=1
∴(x²a+y²b)(a+b)-(x-y)²ab=1
x²a+y²b, -(x-y)²は整数ですから、a+bとabは互いに素になります。■

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
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zuz********さん

2017/4/117:03:52

junhamaura0505さん、

pは素数としてなかったですか。

濱村凖さん

2017/4/116:32:47

a+bとabが互いに素で無いと仮定する。
a+b=mG⋯①,ab=nG⋯②とおく。
ただし、m,nは互いに素な整数でGは2以上の整数とする。
②よりa,bはGの因数を因数にもつので
aがGの因数G'を因数にもつとすると(G'≠1)
a=a'G',G=kG'
これを①に代入すると
a'G'+b=mkG'
b=G'(mk+a')
a,bが互いに素であることに反する。
また、bがGの因数を因数にもつとしても、同様に矛盾が導ける。
以上から
a,bが互いに素であるとき
a+bとabは互いに素である。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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