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高度h(m)で地球を周回する人工衛星を考える。

yahuyahu68さん

2017/4/1719:27:29

高度h(m)で地球を周回する人工衛星を考える。

(A) 地球の半径をR(m).地上での重力加速度の大きさをg(m/s^2)とすると、人工衛星の周期はいくらか。

(B) 人工衛星の周期を1日とすると、高度はいくらになるか。ただし、R=6.4×10^6(m) g=9.8(m/s^2)とする。

(A)の答えは2π(R+h)√(R+h)/gR^2(s)

(B)の答えは h=3.6×10^7(m) でした。

(A)はなんとか理解したのですが、(B)の答えがどうしても分かりません。どなたか解く手順を教えてください。お願いします。

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rhemil_yaさん

2017/4/1721:27:58

私は19歳の宮廷画家 "rhemil_ya"。

(A)が理解出来たのなら、簡単だよ。
とその前に、書き間違いかな?
(A)の周期T[s]は

T=2π(R+h)√(R+h)/√g*R[s]

だよ。
なぜなら、地球を周回する人工衛星では、
遠心力と万有引力が等しくなるから、

m(R+h)ω^2=G*Mm/(R+h)^2

が成立する。
これをωについて解けば、

ω=√g*R/(R+h)√(R+h)

ここで、

GM=gR^2

を用いた。
従って、周期Tは

T=2π/ω=2π(R+h)√(R+h)/√g*R[s]

ねっ?
さあ、ここからが本題。
左辺に「1日」を代入するだけなんだけど、
ただ、注意する事が一つ、(A)の答えはあくまで「秒」
だから、「1日」を秒に変換する必要がある。
ここで、60秒で1分、60分で1時間、24時間で1日だから、

1日=60×60×24

=86400

=8.6×10^4[s]

と変換できる。
従って、今、

8.6×10^4=2π(R+h)√(R+h)/√g*R

であればいい訳であり、
これをhについて解けばいいね♪

両辺2乗して、

(8.6×10^4)^2=4π^2*(R+h)^3/gR^2

(R+h)^3=(8.6×10^4)^2*gR^2/4π^2

=(8.6^2×10^8)*gR^2/4π^2

ここで、問題に与えられとう各数値を代入すれば、

地球の半径:R=6.4×10^6[m]

重力加速度:g=9.8[m/s^2]

より、

(R+h)^3=(8.6^2×10^8)*gR^2/4π^2

=73.96×10^8*9.8*(6.4×10^6)^2/4π^2

=73.96×10^8*9.8*(6.4^2×10^12)/4π^2

=(73.96*9.8*40.96/4π^2)×10^8*10^12

=(73.96*9.8*40.96/4π^2)×10^20

ここで、π=3.1とすれば、

(R+h)^3={73.96*9.8*40.96/4*(3.1)^2}×10^20

=(73.96*9.8*40.96/4*9.61)×10^20

=(73.96*2.45*40.96/9.61)×10^20

=(772.3240291363...)×10^20

両辺3乗根とれば、

R+h=∛{(77.23240291363...)×10^21}

=∛(77.23240291363...)×10^7

≈∛(77.23240291363)×10^7

=4.2585467244566×10^7

≈4.3×10^7

∴ h=4.3×10^7-R=43×10^6-6.4×10^6

=36.6×10^6

=3.66×10^7

≈3.7×10^7[m]

Veux-tu?

答えは「3.6×10^7[m]」らしいけど、これは計算の仕方や、
最初のし位置の与え方によって、多少なりとも変わってくる。
大変そうだけど、上手く変形したりして
しっかり計算できるようになるようにね♪

では、これにて。

Vivre avec la nature...

〜au revoir〜

質問した人からのコメント

2017/4/17 21:32:04

ありがとうございます!助かりました!頑張ってみます!!

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