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ユークリッド空間で

mas********さん

2017/5/1014:51:56

ユークリッド空間で

{(x1,x2)∈R^2|x2=0}が閉集合であることを証明する問題がわかりません
教えてください

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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

cli********さん

2017/5/1016:19:25

massyxo424さん

便宜上, A = {(x1,x2)∈R^2|x2=0} とおく.
A の任意の点 P = (a,0) , a∈R について, 任意の ε>0 の近傍を調べる.
B(P,ε) = {(x1,x2)∈R^2|(x1-a)^2+x2^2<ε^2}
とおく. (これは, P の ε-近傍である)

【 A が A の境界に含まれること】
(i) 点 P(a,0)∈A が B(P,ε) に含まれることは明らか. 実際に, ε-近傍の条件の不等式の左辺について, 成分の値を代入すると
(a-a)^2+0^2=0
であるから, ε-近傍の B(P,ε) に含まれる.
(ii) 点 P'(a,ε/2)∈R^2-A (Aの補集合) について, ε-近傍の条件を調べると
(a-a)^2+(ε/2)^2=ε^2/4<ε^2
だから, A に属さない P' は ε-近傍の B(P,ε) に含まれる.
以上の (i),(ii) より, A の任意の点の任意の近傍には, A の点と A 以外の点が含まれる. すなわち, A の任意の点は, A の境界点である.

【 A の補集合が A の外部であること】
A の補集合の任意の点は Q (a,b), b≠0 とおける.
Q の |b|/2-近傍
B(Q,|b|/2) = {(x1,x2)∈R^2|(x1-a)^2+(x2-b)^2<b^2/4}
について, A の任意の点 (c,0) はこれに含まれない. なぜならば, 条件の不等式の左辺に代入すると
(c-a)^2+(0-b)^2>b^2>b^2/4
したがって, 点 (c,0) は B(Q,|b|/2) に属さない.
よって, 点 Q (a,b), b≠0 は, A の点を含まず, 点 Q は A の外点である.

以上から, A = A の境界であり, A の境界 ⊆ A をみたすから, A は R^2 における閉集合である.

質問した人からのコメント

2017/5/12 15:41:20

助かりました、ありがとうございました
先に返信をくれたのでベストアンサーに選ばさせてもらいました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

yaj********さん

2017/5/1019:19:10

簡単にできる。問題の集合をAとするその補集合をA^ とかくとき
A^ が開集合なことを示せばいい。
A^ の元 P(a,b) 、b=0 でない。簡単のため b>0 とする。
b<0 でも大体同じ
U={(x,y); √[(x-a)^2+(y-b)^2]<b とすると、UはPの近傍で
U はA^ に含まれる.Pは近傍ごとA^にはいるので開集合

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