ここから本文です

次の関数項級数がI上一様収束するか判定せよ

アバター

ID非公開さん

2017/5/2201:08:19

次の関数項級数がI上一様収束するか判定せよ

(1)Σ[n=1→∞]xe^(-nx) (I=[0,1])
(2)Σ[n=1→∞]xe^(-nx) (I=[δ,1],δ>0)

という問題が分からないです。
教えてください

閲覧数:
398
回答数:
1
お礼:
25枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

fra********さん

2017/5/2212:35:09

初項 xe^{-x} 公比 e^{-x} の等比級数ですから、N 部分和は

x ≠ 0 のとき

S_N(x)=xe^{-x}・(1-e^{-Nx})/(1-e^{-x})

={x/(e^{x} - 1)}・{1-e^{-Nx}}


です。x=0のときは S_N(0)=0 です。従って極限関数 S(x)=lim_{N→∞}S_N(x) は

S(x)=
x=0 のとき S(0)=0 ・・・・・(*)
x≠0 のとき S(x)=x/(e^{x} - 1)

です。

(1) 極限関数 S(x) は(*)より x=0 で不連続なので級数は一様収束はしません。実際 lim_{x→0}x/(e^{x} - 1) = 1 ですから。


(2) 0<δ≦x≦1 のとき、

|S_N(x)-S(x)|={x/(e^{x} - 1)}・e^{-Nx}

において、N>(1/δ) を満たすすべての N に対して

e^{-Nx} ≦ e^{-Nδ} かつ常に x/(e^{x} - 1) ≦ 1

より

|S_N(x)-S(x)| ≦ e^{-Nδ}

従って

sup_{δ≦x≦1} |S_N(x)-S(x)| ≦ e^{-Nδ} → 0 (N→∞)

即ちN部分和 S_N(x) は S(x) に [δ,1] 上で一様収束します。

アバター

質問した人からのコメント

2017/5/22 13:44:16

分かりやすい解答ありがとうございます。

あわせて知りたい

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる