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大学の数学(微分)についての問題です。

hiroki_lucky_sevenさん

2017/6/2218:57:17

大学の数学(微分)についての問題です。

関数√(2+x^2)の第n次導関数を『ライプニッツの公式』を用いて漸化式の形で表せ。
さらに、x=0での第n次微分係数を求めよ。
写真は答えですが解説が載っていません。
この問題の解き方がわかりません教えてください。

漸化式,ライプニッツ,解き方,n-1,K-1,第n次微分係数,第n次導関数

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ベストアンサーに選ばれた回答

fracalionさん

2017/6/2411:14:22

漸化式を作りそれを解けば答えは出せるはずですが、漸化式を解くところにも難点がありそうです。まずは直接 f^(n)(0) を目に見える形で算出しましょう。2項展開式

√(1+u) = Σ_{k=0}^{∞} b(1/2:k)・u^k (|u| < 1)

を利用しましょう。ただし

b(1/2:k) = {1/2・(1/2 - 1)・(1/2 - 2)・・・(1/2 – k+1)} / k!

は拡張された2項係数です。

f(x)=√2・√{1+(x^2/2)} = √2・Σ_{k=0}^{∞} b(1/2:k)・[x^2/2 ]^k

=Σ_{k=0}^{∞} √2・b(1/2:k)・(1/2^k)・x^{2k} (*)

=Σ_{n=0}^{∞} f^(n)(0)/n! ・x^n

において、係数を比較すれば(*)には奇数次の項は出ていないので

n = 2k-1 (k ≧1) ならば f^(n)(0) = 0

であり、偶数次の項の係数は

n = 2k (k ≧0) ならば

f^(n)(0) = f^(2k)(0) = √2・b(1/2:k)・(1/2^k)・(2k)! (**)

となります。(**)が答ですが、もう少し(解答例にある表式に)変形しましょう。

(2k)! = 1・2・3・4・5・・・(2k-3)・(2k-2)・(2k-1)・(2k)
= [1・3・5・7・・・(2k-3)・(2k-1)]・[2・4・6・・・(2k-2)・(2k)]
= [1・3・5・7・・・(2k-3)・(2k-1)]・[2^k・k!]

さらに

b(1/2:k) = {1/2・(1/2 - 1)・(1/2 - 2)・・・(1/2 – k+1)} / k!
= [ (1/2)^k・{1・(1-2)・(1-4)・(1-6)・・・(1-2k+4)・(1-2k+2)} ] / k!
= [ (1/2)^k・(-1)^{k-1}・1・3・5・・・(2k-5)・(2k-3) ] / k!

に注意すれば

f^(2k)(0) =
√2・[ (1/2)^k・(-1)^{k-1}・1・3・5・・・(2k-5)・(2k-3) ] / k!
×
(1/2^k)・[1・3・5・7・・・(2k-3)・(2k-1)]・[2^k・k!]

= (-1)^{k-1}・√2・(1/2^k)・ [1・3・5・7・・・(2k-3)]^2・(2k-1) (***)

となります。(***)の表式は解答例と同一です。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

以下は解答例の算出過程です。
f(x) = √(2+x^2) を1回微分して f’(x) = x/√(2+x^2) ですから分母を払って
√(2+x^2)・f’(x) = x、これより

(2+x^2)・f’(x) = x・√(2+x^2) = x・f(x)

即ち

(2+x^2)・f’(x) - x・f(x) = 0

が得られます。この両辺を n 回微分しましょう。このときライプニッツの公式を使えば

(2+x^2)・f’(x) の n 階導関数
= nC0・(2+x^2)・f^(n+1)(x) + nC1・(2x)・f^(n)(x) + nC2・2・f^(n-1)(x)

x・f(x) のn 階導関数
= nC0・x・f^(n)(x) + nC1・1・f^(n-1)(x)

ですから、

(2+x^2)・f^(n+1)(x) + (2n-1)・x・f^(n)(x) + n(n-2)・f^(n-1)(x) = 0 (****)

これが求める漸化式です。(****) で x=0 を代入して

2・f^(n+1)(0) = -n(n-2)・f^(n-1)(0)

即ち

f^(n+1)(0) = (-1/2)・n(n-2)・f^(n-1)(0) (*****)

この漸化式を初期条件

f^(0)(0) = f(0) = √2,f^(1)(0) = 0

の下で解いて f^(n)(0) を算出します。nが奇数 n=2k-1 ならば初期条件 f^(1)(0) = 0 から出発して順次 f^(2k-1)(0) = 0 となります。

n=2k のとき:(*****) で順次次数を下げて行けば

f^(2k)(0) = (-1/2)・(2k-1)・(2k-3)・f^(2k-2)(0)
f^(2k-2)(0) = (-1/2)・(2k-3)・(2k-5)・f^(2k-4)(0)
・・・
・・・
f^(6)(0) = (-1/2)・5・3・f^(4)(0)
f^(4)(0) = (-1/2)・3・1・f^(2)(0)

辺々掛け合わせて、両辺の同一数をキャンセルすれば

f^(2k)(0) = (-1/2)^{k-1}・(2k-1)・[(2k-3)・・・5・3・1]^2・f^(2)(0)

ここで、 f^(2)(0) = √2 / 2 なので、

f^(2k)(0)
= (-1)^{k-1}・√2・(1/2)^{k}・(2k-1)・[(2k-3)・・・5・3・1]^2

となり、これは解答例と同一式です。

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