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大学の微分積分についての質問です。

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ID非公開さん

2017/7/516:00:05

大学の微分積分についての質問です。

複素数平面(C)上の関数fがZ0(∈C)で連続な事と、
Z0に収束する任意の列{Zn}n∈N(自然数)に対して
lim n→∞f(Zn)=f(Z0)

が同値である事の証明が分かりません。
分かる方お願いします。。

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2017/7/621:00:59

f:C→R
z_0 ∈ C
とする。
(1) f が z_0 で連続である。
(2) z_0 に収束する任意の点列 {z_n}_{n=1}^∞ に対しlim_{n→∞}f(z_n)=f(z_0)

(1)と(2)は同値である。

証明

(1)ならば(2)

(1)より、fとlimの順序が交換できるので、
lim_{n→∞}f(z_n)=f(lim_{n→∞}z_n)=f(z_0)

(2)ならば(1)

背理法を用いて(1)でないと仮定する。
「収束しない」の定義により
ε_0>0 が存在して、任意の δ>0 に対し、z∈C が存在して、
0<|z-z_0|<δ かつ |f(z)-f(z_0)|≧ε_0
となる。
つまり、任意の n∈N に対し、z_n∈C が存在して、
0<|z_n-z_0|<(1/n) かつ |f(z_n)-f(z_0)|≧ε_0
とできる。
これは、lim_{n→∞}z_n=z_0 だが、lim_{n→∞}f(z_n)≠f(z_0)となり、
(2)と矛盾する。したがって、(1)が成り立つ。

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