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マチンの公式を用いてπの値を少数第8位まで計算の途中式がわかりません

たろさん

2017/7/1010:10:51

マチンの公式を用いてπの値を少数第8位まで計算の途中式がわかりません

教えください

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kyo********さん

2017/7/1201:47:09

「高木貞治の解析概論より」
π=16(1/5 - 1/(3・5^3) 1/(5・5^5) - ・・・) - 4(1/239 - 1/(3・239^3) ・・・)
今これを用いてπを少数第5位まで求めるつもりで、・・・
16/5=3.200 000 | [1]
16/5^3=0.128 000 | ÷3=0.042 666 [2]
16/5^5=0.005 120 | ÷5=0.001 024 [3]
16/5^7=0.000 204 | ÷7=0.000 029 [4]
16/5^9=0.000 008 | ÷9=0.000 000 [5]
4/239=0.016 736 | [6]
4/238^3=0.000 000 | [7]

[1] [3]-([2] [4] [6])=3.141 593

上記 の級数は二つとも交代級数であるから,或る項以下を省略するときに生ずる絶対誤差は省略されたる最初の項以内である(§45).上記の計算では [5],[7] からみえるように,誤差は末位の 2 以内である.また [1],[3] は正確で,[2],[4],[6] から末位の − 3 以内の誤差が生ずる.故に π=3.141,593 とすれば誤差は末位において 2 ないし − 3 である.

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kar********さん

2017/7/1010:32:30

逆正接関数のマクローリン展開式
arctanx=x-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+x⁹/9-x¹¹/11+-・・・
を使ってのπの計算式で、マチンの公式は
π/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239)
つまり、
π=16arctan(1/5)-4arctan(1/239)
でしたね。小数第8位の精度なので、
arctan(1/4)については展開式のx¹¹の項まで、arctan(1/239)についてはx³の項までで計算を打ち切っていいのです。電卓を使えば計算はすぐにできると思います。

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