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問題文: 質量mの等しい球AとBが、自然長lo、ばね定数kのばねの両端に取り付けられ...

mas********さん

2017/8/1523:47:33

問題文:
質量mの等しい球AとBが、自然長lo、ばね定数kのばねの両端に取り付けられ、滑らかな水平面上に静止している。
これに、質量
が同じ球Cが速さVoでAに弾性衝突した。

(1)衝突直後のAとCの速さはいくらか。
(2

)衝突後、AとBの重心Gは等速度運動をする。その速さはいくらか。
(3)重心Gと共に動いて観測すると、AとBは、重心Gに関して対称な単振動をする。その周期はいくらか。また、AB間の距離の最小値l1と最大値l2はいくらか。


(1)(2)は解答をみて理解できたのですが(3)がよくわかりません。


解答には

>(3) Aがxだけ変位したとき、ばねは2xだけ縮んでいる。Aに働く力FはF=-k(2x)=-(2k)xと表せる。よってAは単振動し、周期は2π√(m/2k)

▪1.これは重心にいる人から見た変位のことですか?さすがに、地面からの観測者からの変位ではないと思いますが、解答は何も触れてません。。

>(3) 重力と共に動く観測者から見ると、初め、AはVoで右向きに、BはVoで左向きに動き出す。Aの振幅をdとして、Aについての力学的エネルギーより、
(1/2)m(Vo/2)^2=(1/2)(2k)d^2

重心の観測者は等速運動なので、慣性系なので、地面の観測者と同じに解くのかな。と思ったんですが、観測者から見たAの「速度」や「ばね定数」なんですね。

▪2.慣性系なら、慣性力や遠心力がないだけで、他の力は見えてるままなのですか。

▪3.画像のように、「ばね定数」が2倍になるのは、どういう条件のときに使っていいのか分かりません。例えば、観測者が重心でなく、バネの右から1/4の位置にいたとしても、バネの定数は、その観測者が見た、長さに反比例するのですか。
そもそも、「観測者がバネにいる」ときや、「重心を考えている」ときしか、ばね定数を変えることはできないのですか。

ばね定数の変化と、重心を同時に考えると、何がどう作用するのか
イマイチわかんない状況です。




解説お願いします。

補足間違えました。

>(3) 重力と共に動く観測者から見ると、初め、AはVoで右向きに、BはVoで左向きに動き出す。



>(3) 重力と共に動く観測者から見ると、初め、AはVo/2で右向きに、BはVo/2で左向きに動き出す。

でお願いします。

ばね定数,観測者,重心,慣性,等速,最小値L1,mva+mvb

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ken********さん

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2017/8/1601:25:06

A、B,C はすべて水平な一直線上を運動するものとします。
C→ A-mmmm-B


(1) 衝突直後のAとCの速さはいくらか。

運動量保存により、
mVo=mVc+mVa
Vo=Vc+Va …①
反発係数の式より、
Vo=Va-Vc …②
①+②より、
2Vo=2Va
∴ Va=Vo
①より、
Vc=Vo-Va=0


(2) 衝突後、AとBの重心Gは等速度運動をする。その速さはいくらか。

A,B,重心の位置をXa,Xb,Xg とすると、
Xg=(mXa+mXb)/(m+m)
2mXg=mXa+mXb

微小な時間Δt の間に、それぞれの位置が変化したとすると、
Δ(2mXg)=Δ(mXa+mXb)
2mΔXg=mΔXa +mΔXb

両辺をΔt で割ると、
2mΔXg/Δt =mΔXa/Δt +mΔXb/Δt
2mvg=mva+mvb

va,vb は衝突後、間にばねがあるので時間とともに変化するが、
運動量保存則により、
mva+mvb=mVa+mVb=mVo
だから、
2mvg=mVo
vg=(1/2)Vo


(3) 重心Gと共に動いて観測すると、AとBは、重心Gに関して対称な単振動をする。その周期はいくらか。また、AB間の距離の最小値l1と最大値l2はいくらか。

この観測者から見ると、
ばねの中心が静止して、両端のA,Bが対称な単振動をします。
従って、ばねの中心から左半分だけ見れば、
右端を固定された半分の長さのばねによる、
Aの単振動と考えることができます。

ならば、半分の長さのばねのばね定数は 2k だから、
周期T は、
T=2π√[m/(2k)]

また、この単振動は、
ばねが自然長(=つり合いの位置=振動の中心)のとき、
Aの速さは、
Va-Vg=Vo-(1/2)Vo=(1/2)Vo
であり、これが速さの最大値なので、振幅をa とすると、
(1/2)Vo=aω (ω=√(2k/m))
a=(1/2)Vo√[m/(2k)]

よって、AB間の距離の最小値L1、最大値L2 は、
L1=Lo-2a=Lo-Vo√[m/(2k)]
L2=Lo+2a=Lo+Vo√[m/(2k)]

となります。



▪1. これは重心にいる人から見た変位のことですか?さすがに、地面からの観測者からの変位ではないと思いますが、解答は何も触れてません。。

→ そうですね。
もう解説者は、単振動モードに入り込んでいますから、
立場は重心系です。



>(3) 重心と共に動く観測者から見ると、初め、AはVo/2 で右向きに、BはVo/2 で左向きに動き出す。Aの振幅をdとして、Aについての力学的エネルギーより、
(1/2)m(Vo/2)^2=(1/2)(2k)d^2

重心の観測者は等速運動なので、慣性系なので、地面の観測者と同じに解くのかな。と思ったんですが、観測者から見たAの「速度」や「ばね定数」なんですね。

▪2. 慣性系なら、慣性力や遠心力がないだけで、他の力は見えてるままなのですか。

→ 重心系から見てこそ「単振動」です。
地上の観測者から見ると、
単振動しながら右に移動していく、非常にややこしい動きになります。
力はどちらの立場でも同じですが、速度や位置が違ってきます。



▪3. 画像のように、「ばね定数」が2倍になるのは、どういう条件のときに使っていいのか分かりません。例えば、観測者が重心でなく、バネの右から1/4の位置にいたとしても、バネの定数は、その観測者が見た、長さに反比例するのですか。
そもそも、「観測者がバネにいる」ときや、「重心を考えている」ときしか、ばね定数を変えることはできないのですか。
ばね定数の変化と、重心を同時に考えると、何がどう作用するのか
イマイチわかんない状況です。

→ 観測者がいる位置の問題ではなく、
観測者が重心と同じ速度で移動しながら見ているということです。
これが等速度運動で、慣性系になるから貴重なんです。

そして、その立場で見ると、
重心であるばねの中心が静止しており、
ばねの左右半分ずつに分けて考えると、
我々が学習した、
一端が固定されたばね振り子の公式が使えるんですね。

  • 質問者

    mas********さん

    2017/8/1602:25:19

    ありがとうございます!

    すみません!
    自分が、問題(1)(2)は大丈夫なのに、載せたせいで解いて頂いて、。

    確かに、地上の観測者では、運動が複雑になってしまいますね。だから、簡単にするために重心の観測者にするわけなんですね。

    それに、観測者がいる位置ではなくて、観測者がする等速運動が貴重だということなんですか!
    なるほど確かに、この観測者から見れば、重心が静止していて、A,Bの運動が別々に見れそうです。そして、それが「一端が固定されたばね振り子の公式」に繋がるのですね!

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