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曲面S : z = f(x,y), (x,y) ∈ Dは, r(x,y)=xi+yj+f(x,y)k,(x,y) ∈ Dとパラメータ表...

kaw********さん

2017/11/3001:38:00

曲面S : z = f(x,y), (x,y) ∈ Dは, r(x,y)=xi+yj+f(x,y)k,(x,y) ∈ Dとパラメータ表 示することができる.

このとき, スカラー場ϕの曲面Sに沿った面積分∫cϕdSは

∫sϕdS=∫・dϕ(x,y,f(x,y))・ |∂r/∂x×∂r/∂y |dxdy

として定義される. このことを利用して,
曲面S :2x+y+z=2,x ≥ 0,y≥ 0,z≥ 0に対して , 面積分 ・∫s(x+3y+z)dS
を計算する。

分からないので、解き方を教えてください

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tmm********さん

2017/11/3006:47:14

法線ベクトルはもちろん、
n=(2,1,1)
なので、
|n|=√6
D={(x,y)|2x+y<2,x>0,y>0}
とおくと、

∫(S)(x+3y+z)dS
=√6∫(D)(x+3y+2-2x-y)dxdy
=√6∫(0→1)∫(0→2-2x)(-x+2y+2)dydx
=√6∫(0→1)(2(2-x)(1-x)+4(1-x)^2)dx
=・・・自分でやる
=3√6

でしょうか。

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質問した人からのコメント

2017/12/6 17:40:24

ありがとうございます!
先に頂いた方をベストアンサーとさせて頂きます。

お二方共わかりやすかったです!

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ssm********さん

2017/11/3007:13:51

曲面Sは平面の一部分です。
S : φ(u, v)=(u, v, 2-2u-v) より、
∂φ/∂u=(1, 0, -2), ∂φ/∂v=(0, 1, -1) となり、
(∂φ/∂u)×(∂φ/∂u)=(2, 1, 1).
よって、
∬[S]φ(u, v, f(u, v))dudv
=∫[0~1]{∫[0~(2-2u)]{u+3v+(2-2u-v)}*√6*dv}du ...(*)
=(7/3)√6.
----------------
※計算ミスがあればなおしてください。
重要な点は(*)の立式です。

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