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問題3) x-y座標平面でのθ回転を表す行列Q=(cosθ、-sinθ、cosθ、sinθ)(左上、右上、...

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ID非公開さん

2017/12/412:19:02

問題3)
x-y座標平面でのθ回転を表す行列Q=(cosθ、-sinθ、cosθ、sinθ)(左上、右上、左下、右下の順)について

(1)Qx=λxは、一般に実数の固有値を持たない。その理由を直感的な表現で、100文字で説明せよ。

(2)Qx=λx

の固有値がλ=cosθ土i sinθであることを示せ。( ただし、iの2乗=-1)

(3)θ=π/2(90度回転)の時、Qの固有値、固有ベクトルを求めよ。

長々となりましたが解答を教えてほしいです
よろしくお願いします

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ベストアンサーに選ばれた回答

a_d********さん

2017/12/415:11:35

(1)
固有値とは正方行列(線型変換)に対して定義されるものであって、
「Qx=λxは、一般に実数の固有値を持たない。」
という表現は正確ではないと思われます。

これを
「Qx=λxを満たすλは一般に実数であるとは限らない。」
と解釈して回答します。

直感は貴方の直感で答えるべきですが
ひとつの視点をご紹介します。

左辺のなす集合C={Qx|0≦θ<2π}は
原点を中心とし、点xを通る円周を表します。
右辺のなす集合L={λx|λ:実数}は
原点と点xを通る直線を表します。
(xy平面に図を描いてみると良いでしょう。)
ここで、
Qx=λxを満たす実数λが常に存在するならば、
それはすなわち、
円周Cが直線Lに含まれることを意味するがそれは有り得ない。

と言ったところでしょうか。

ちなみに、
円周Cと直線Lの共有点は2個であって
それらを与えるのはθ=0,πのときです。
この2点に対応するλは1,-1であって
これらがQの固有値に成り得る実数です。



(2)
Qx=λxすなわち(λE-Q)x=Oを満たすx≠Oが存在するので、
正方行列λE-Qが正則ではないようなλを求めれば良い。
故に、
λに関する2次方程式det(λE-Q)=0をとけば良い。



(3)
⑵のλにθ=π/2を代入すれば、そのλが求める固有値である。
固有ベクトルxは、このときの連立方程式
(λE-Q)x=O(或いはQx=λx)
をとけば良い。




⑵において
2次正方行列の行列式が計算できない場合や
2次方程式を解くことが出来ない場合、
⑶において
2元1次の連立方程式を解くことが出来ない場合は
返信にてその旨を教えていただければと思います。

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