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この問題を教えてくださいm(_ _)m、固有空間です。

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ID非公開さん

2017/12/702:04:18

この問題を教えてくださいm(_ _)m、固有空間です。

固有空間,0 2 1,固有ベクトル,1 0 0,0 1 2,2 1 1,問題

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cli********さん

2017/12/703:41:21

ID非公開さん

固有方程式として
|2-λ -2 4|
|0 1-λ 2 |= 0
|0 -1 4-λ|
から
(λ-3) (λ-2)^2 = 0
λ=2 または λ=3

固有値 2 にたいして
[2 -2 4][x]
[0 1 2 ][y]
[0 -1 4][z]
=
[2 x]
[2 y]
[2 z]

4z-2y+2x=2x かつ
2z+y=2y かつ
4z-y=2z

y=2z かつ
x は任意
したがって, 固有ベクトルは
[s,2t,t] = s[1,0,0] + t[0,2,1]
とおける.
固有値 2 の固有空間は
{ s[1,0,0] + t[0,2,1] | s,t∈R }

固有値 3 にたいして
[2 -2 4][x]
[0 1 2 ][y]
[0 -1 4][z]
=
[3 x]
[3 y]
[3 z]

4z-2y+2x=3x かつ
2z+y=3y かつ
4z-y=3z

4z-2y-x=0 かつ
z-y=0

z=y かつ
x=2y
したがって, 固有ベクトルは
[2r,r,r] = r[2,1,1]
とおける.
固有値 2 の固有空間は
{ r[2,1,1] | r∈R }

対角化について
一次独立である固有ベクトルを横に並べた行列として
P =
[1 0 2]
[0 2 1]
[0 1 1]
固有値を対角線上に置いた行列として
D =
[2 0 0]
[0 2 0]
[0 0 3]
とおけば, AP = PD が成りたつから
D = P^(-1) A P

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