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a[n+1]=(n)*(a[n]+1)の一般項を求めよ

dassuuyさん

2018/1/318:50:56

a[n+1]=(n)*(a[n]+1)の一般項を求めよ

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tasogarejiさん

2018/1/319:29:39

b[n]=(a[n]+1)/(n-1)! と置く。すると
a[n]=(n-1)!b[n]-1 , b[1]=a[1]+1
漸化式に入れると

n!b[n+1]-1=n{(n-1)!b[n]-1+1}=n!b[n] つまり
b[n+1]=b[n]+1/n!

b[n]=b[1]+Σ[k=1,n-1] 1/k! (n=1 のとき、右辺2項は0とする)
すると
(a[n]+1)/(n-1)!=a[1]+1+Σ[k=1,n-1] 1/k!

まとめて
a[n]=(n-1)!{a[1]+1+Σ[k=1,n-1] 1/k!}-1

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