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数学、逆行列についての質問です。 A= 5 -6 -2 0 0 2 3 7 5 ...

mat********さん

2008/8/1616:47:15

数学、逆行列についての質問です。
A=
5 -6 -2 0
0 2 3 7
5 -2 0 1
3 1 0 4

の4行4列行列において逆行列A^-1の出し方を教えて下さい。よろしくお願いします。

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zat********さん

編集あり2008/8/1701:09:13

行列に対する操作で、行に関する基本変形ってご存知ですか。
次の3つの操作のことです。
(1) 第i行をc倍する。 (c≠0)
(2) 第i行のc倍を第j行に加える。(cは任意の実数、i≠j)
(3) 第i行と第j行を入れ替える。(i≠j)
正則行列は、単位行列にこれらの操作を有限回繰り返すことによって
全て得られることが知られています。
また、(1)~(3)の操作は、行列に次の行列を左から掛けることに相当します。
(1') 単位行列の第(i,i)成分のみcとした行列
(2') 単位行列の第(i,j)成分のみcとした行列
(3') 単位行列の(i,i)成分,(j,j)成分を0とし、代わりに(i,j)成分と(j,i)成分を1とした行列
従って、正則行列は上の(1')~(3')の有限個の積で書けることが分かります。

いま、与えられた行列の逆行列をBとすれば、Bは正則行列なので
Bも上の(1')~(3')の有限個の積でかけます。
例えばB=XYZとします。
すると、BA=EよりXYZA=Eとなります。
このようなXYZの具体的な表記を探せばいいのですが、これは、
Aに(1)~(3)の操作を行って単位行列に戻すにはどうすればいいかという問題になります。
すると、いま、Aに順番にZ、Y、Xと左から掛けてEに戻せたとすれば、同じ操作をEに施すことで
EはXYZ、すなわちAの逆行列になっているはずです。
この考察を元に、逆行列の求め方として、次がよく使われます。

1.
AとEを左右に並べた4行8列の行列を考えます。
2.
その行列に行に関する基本変形を行い、Aの部分をEに変えます。
3.
AがEに変わったとき、もともとEだった部分に現れている行列がAの逆行列です。


以上のことは、ネットで「逆行列 基本変形」と検索すれば、たくさんhitすると思います。
上の内容と読み比べながら、考えてみてください。

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