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熱力学について教えて下さい。

ash********さん

2018/1/1309:36:45

熱力学について教えて下さい。

熱力学で断熱圧縮の式がありますよね?
あの式は閉じた系で圧縮中の質量は一定ですが、
あれが仮に圧縮中にいくらか漏れるとすると、
理論式のどこに影響が出るのでしょうか?

物理学に詳しい方よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

pla********さん

2018/1/1409:29:19

もとの導出からたどります。理想気体の内部エネルギー変化は断熱過程の場合
dU=dQ+dW=dW=-PdV・・・①
です。一方内部エネルギーの変化の全微分をT、Vを独立変数として書けば
dU=(∂U/∂T)_vdT+(∂U/∂V)_tdV・・・②
ですが、理想気体では②の右辺第二項はゼロで内部エネルギー変化は
dU=(∂U/∂T)_vdT=CvdT・・・③
と表されます。①と③が等値できて
-PdV=CvdT
です。仮に気体がnモルあったとしたら
-PdV=nCvdT・・・④
ですが、計算を進めるためにP=nRT/Vを④に代入すると
-(RT/V)dV=CvdT・・・⑤
となり、結局nはここでは消えてしまいます。⑤を整理すると
-R(dV/V)=Cv(dT/T)・・・⑥
となり、これを積分すると
-RlnV=CvlnT+CvlnC・・・⑦
となります。CvlnCは積分定数です。ただCと書くのが普通ですが、あとの計算の便宜からCvlnCという形に書いておきます。⑦より
-(R/Cv)lnV=ln(TC)・・・⑧
となります。ところで
R/Cv=(Cp-Cv)/Cv=γ-1・・・⑨
です。なおγ=Cp/Cvは比熱比です。結局⑧は
(1/V)^(γ-1)=TC・・・⑩
となります。ここでT=PV/nRを代入すると
(1/V)^(γ-1)=(PV/nR)C
PV^γ=nRC・・・⑪
となります。ここでnが減るから⑪の右辺は定数でなくなり、圧縮していくと同じVならnが不変の時にくらべPが小さくなります。

質問した人からのコメント

2018/1/14 09:31:40

ご丁寧な回答ありがとうました。よくわかりました。経験則とも一致しますしね。ありがとうました。

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