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数学です。

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ID非公開さん

2018/1/1712:08:35

数学です。

図のような半円と、点A〜Dを考えた時に、∠CPDをθとします。その時のθが最大になる点は、Pが真上に来た時だと直感的には分かるのですが、証明の方法が思いつきません。
お願いします。

AC=CD=DBです。

x-1,半円,真上,cos,CPD,証明,数学

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ssm********さん

2018/1/1714:44:37

A(-1, 0), B(1, 0), C(-1/3, 0), D(1/3, 0), P(c, s)
とします。c=cosφ、s=sinφ, (0≦φ≦pi)
このとき、
CD^2=PC^2+PD^2 - 2*PC*PD*cosθ
ですから代入してまとめると、
cosθ=4/√(25 - 9*c^2).
となり、cosθはc=0 のとき最大値4/5.
をとります。P(0, 1)
ーーーーーーーーー
※ θ=0.64350...(36.87deg) です。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

oig********さん

2018/1/1714:40:52

どんな方法でもよいのですか?

原点を中心とした半径3の円の第一象限で考えます。
C=(-1,0)、D=(1,0)、P=(x,y)
x^2+y^2=9・・・(1)

以下、ベクトルの矢印は省略します。
CP=(x+1,y)、DP=(x-1,y)
|CP|=√{(x+1)^2+y2}
|DP|=√{(x-1)^2+y2}
CP・DP=(x+1)(x-1)+y^2
=|CP||DP|cosθ
cosθ={(x+1)(x-1)+y^2}/√[{(x+1)^2+y2}{(x-1)^2+y2}]・・・(2)
これでcosθが最小となるxを求める。

(1)より
y^2=9-x^2
(2)へ代入
cosθ=8/√{(2x+10)(-2x+10)}
=8/√(100-4x^2)
ここからx=0のときcosθは最小値8/10=4/5をとることがわかる。
このときθは最大となる。

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