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位相空間の内部、外部、境界、閉包などについての質問です。 問)Rの部分集合...

rin********さん

2018/1/2814:32:08

位相空間の内部、外部、境界、閉包などについての質問です。

問)Rの部分集合族をβ={[a,∞)|a∈R}とする。βによって定まる位相をΟとするとき、位相空間(R,Ο)について考える。

Rの部分集合A=(0、1] の内部、外部、境界、閉包を求めよ。またAの孤立点全体の集合および集積点全体の集合を求めよ。

どなたか解答をお願いいたします。

補足「βによって定まる位相を」、とは「βはある位相の開基であり、その位相を」という意味です。

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clickyさん

2018/1/2817:50:45

rinne_jp_rinneさん

β によって定まるという表現が曖昧だと思うのですが, β を開集合族の基礎と解釈します. 位相には空集合と全体集合が必要であり, 暗黙の了解として, β と {Φ,R} の和を開集合族とします. つまり, O = {Φ,R} ∪ β という意味でとらえます. 本当は β で生成される位相というほうが良いだろうと思います.

閉集合と開集合はたがいに補集合の関係にあるから, この位相の閉集合族を F とすると
F = {Φ,R} ∪ {(-∞,a) |a∈R}
である.

・A の内部
A の内部とは, A に含まれるすべての開集合の和であるが, A に含まれる開集合は空集合のみだから, A の内部 = Φ

・A の閉包
A の閉包とは, A を含むすべての閉集合の共通部分であるが, A を含む閉集合は R のみだから, A の閉包 = R

・A の境界
A の境界とは, A の閉包と A の補集合の閉包との共通部分である.
A の補集合 = (-∞,0] ∪ (1,∞) だから, この閉包は R である.
したがって, A の境界 = R

・A の外部
全体集合はその部分集合の内部と境界と外部に分けられます. さらに, 内部と境界と外部は互いに交わらない (共通部分は空である) から, A の外部 = Φ

・A の集積点全体
(i) A の左側の点 b∈(-∞,0] の開近傍で判定
[b-ε,∞) … これから b を除外しても A の点を含む
[b,∞) … これから b を除外しても A の点を含む
よって, b は A の集積点
(ii) a∈(0,1) の開近傍で判定
明らかに上記と同様だから, a は A の集積点
(iii) 1 の開近傍で判定
[1-ε,∞) … これから 1 を除外しても A の点を含む
[1,∞) … これから 1 を除外すると A の点を含まない
よって, 1 は A の集積点でない (※)
(iv) A の右側の点 b∈(1,∞) の開近傍で判定
[b,∞) … これから b を除外すると A の点を含まない
よって, b は A の集積点でない (※)
以上をまとめると
A の集積点全体 = (-∞,1)

・A の孤立点全体
A の孤立点は A に含まれる.
一般に, 孤立点ならば境界点である.
一般に, 境界点は集積点か孤立点かいずれかである.
先に, A の境界 = R, そして, A の集積点全体 = (-∞,1) であることを示したから
A の孤立点全体 = A ∩ [1,∞) = {1}

  • 質問者

    rin********さん

    2018/1/2913:27:34

    質問が分かりにくく、申し訳ありませんでした。補足にも書いた通り、「βによって定まる位相を」とは「βはある位相の開基であり、その位相を」という意味でした。
    この場合でも、内部や閉包は同じでしょうか?

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