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数学得意な方に質問です。数学ⅡBの2曲線の交点を通る曲線の方程式についてです。 ...

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ID非公開さん

2018/3/1214:49:52

数学得意な方に質問です。数学ⅡBの2曲線の交点を通る曲線の方程式についてです。

異なる2曲線f(x.y)=0、g(x.y)=0がいくつかの交点をもつとき、方程式kf(x.y)+g(x.y)=0(kは定数)は

、それらの交点全てを通る曲線を表す(ただし、曲線f(x.y)=0を除く)

ということなのですが、なぜ定数kを置くことでそのようなことが言えるのか教えて下さい。
どの参考書にもそれ以上のことは載っておらず、数学の先生も答えられませんでした。
証明ができるのであればそれも教えていただけると助かります。

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hir********さん

2018/3/1217:24:39

この証明は簡単なんだが、意外と理解されていない。

f(x、y)=0 ‥‥①、g(x、y)=0‥‥②。
①と②のひとつの交点を、点(α、β)とすると、
f(α、β)=0、g(α、β)=0、である。

従って、定数:mとkについて、
k*f(α、β)+m*g(α、β)=0 ‥‥③、が成立する。
従って、③は、点(α、β)を通る事を示している。


m=1とすると、k*f(α、β)+g(α、β)=0 ‥‥③、になる。

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hat********さん

2018/3/1410:50:10

(X₁,Y₁), … ,(Xn ,Yn)の
n個の交点をもつとすると

f(X₁,Y₁)= … =f(Xn ,Yn)=0 より
kf(X₁,Y₁)= …= kf(Xn ,Yn)=0 ・・・①

g(X₁,Y₁)= … =g(Xn ,Yn)=0 ・・・ ②

①,② より
kf(X₁,Y₁)+g(X₁,Y₁)= … =kf(Xn ,Yn)+g(Xn ,Yn)=0
となるので

方程式 kf(x ,y)+g(x ,y)=0 (kは定数)は
交点全てを通る曲 (曲線 f(x ,y)=0以外)
を表しているといえます。

ただし
交点を通る、全ての曲線を
表しているわけではないので、注意が必要です。

下の図は
f(x ,y)=(x²-y)=0
g(x ,y)=(x-y)=0
としたときの

kf(x ,y)+g(x ,y)
=k(x²-y)+(x-y)=0 のグラフです。

(X₁,Y₁), … ,(Xn ,Yn)の
n個の交点をもつとすると

f(X₁,Y₁)= … =f(Xn...

sag********さん

2018/3/1215:03:30

押さえるべきポイントは次の2つです.

(1) 方程式 kf(x,y)+g(x,y)=0 …①
は(x,y) の方程式なので,xy平面上で曲線を表します.

(2) f(x,y)=0,g(x,y)=0 の共有点が (a, b)であるとすると,
f(a,b)=0, g(a,b)=0 …②
①が点(a, b) を通るかどうかを確認します.

①の左辺のx,yにそれぞれa,bを代入すると,
kf(a,b)+g(a,b)=k・0+0=0 (何故なら②から)
となって,①が点(a, b) を通ることがわかります.

これは,共有点が他にあっても,そのそれぞれについて言えることです.

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