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mがすべての実数値をとって変化するとき、2直線 mx+y−m=0、x−my+m=0 の...

yug********さん

2018/5/615:46:45

mがすべての実数値をとって変化するとき、2直線

mx+y−m=0、x−my+m=0

の交点の軌跡を求めよ


やり方がわかりません!よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

zen********さん

編集あり2018/5/616:04:12

2直線の法線ベクトル(m,1) (1,-m)は内積が0になるので2直線は常に直交する。
mx+y−m=0の定点は(1,0)
x-my+m=0の定点は(0,1)
よって円周角の定理より、A(1,0) B(0,1)としたとき、交点の軌跡は2点A Bを直径の両端とする円だから、円周上の点をP(x,y)とするとベクトルAP・ベクトルBP=
x(x-1)+y(y-1)=0
(x-1/2)²+(y-1/2)²=1/2

また法線ベクトル(m,1)はx軸と平行にならないのでmx+y−m=0はy軸と平行にならない。また定点(1,0)より、mx+y−m=0はx=1にならない。
法線ベクトル(1,-m)はy軸と平行にならないのでx-my+m=0はx軸と平行にならない。また定点(0,1)より、x-my+m=0はy=1にならない。よってx=1とy=1の交点である(1,1)は除外される。

よって求める交点の軌跡は
(x-1/2)²+(y-1/2)²=1/2
点(1,1)を除く。

質問した人からのコメント

2018/5/10 20:42:55

ありがとうございます!!

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1〜1件/1件中

ire********さん

2018/5/616:16:02

じゃ別解で

mを消します

m(x-1)=-y

x≠1でm=ーy/(x-1)

もう一方の式へ

x+(-y+1)(-y)/(x-1)=0

x(x-1)+y(y-1)=0

(xー1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2

x=1ではy=0、1

(1,0)をみたすmは-1

(1,1)をみたすmはない

よって中心(1/2、1/2)半径√2/2の円

ただし(1,1)を除く

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