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高校数学の問題です。 この画像の問題の解説をお願いしたいです。

tak********さん

2018/5/1414:53:56

高校数学の問題です。

この画像の問題の解説をお願いしたいです。

xyzw,x-y,等号成立,高校数学,正の数,問題,すなわち

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ベストアンサーに選ばれた回答

yos********さん

2018/5/1415:30:21

(2)
(x+y)/2≧√(xy),等号成立はx=yのとき は既知とします

相加平均と相乗平均の関係から
(x+y)/2≧√(xy),(z+w)/2≧√(zw)
x+y+z+w≧2{√(xy)+√(zw)}
等号成立はx=y,z=wのとき
さらに
{√(xy)+√(zw)}/2≧√√(xyzw)=₄√(xyzw)
{√(xy)+√(zw)}≧2₄√(xyzw)
等号成立はxy=zwのとき
したがって
x+y+z+w≧2{√(xy)+√(zw)}
≧2{2₄√(xyzw)=4₄√(xyzw)
よって
(x+y+z+w)/4≧₄√(xyzw)
等号成立はx=y,z=wかつxy=zwのとき
すなわち
x=y=z=wのとき

(3)
(2)で
xを1/x,yを1/y,zを1/z,wを1/w…に置き換えて考えます

x,y,z,wは正の数だから
1/x,1/y,1/z,1/wも正の数
(2)の結果から
{(1/x)+(1/y)+(1/z)+(1/w)}/4≧₄√{(1/x)(1/y)(1/z)(1/w)}
(1/x)+(1/y)+(1/z)+(1/w)=1より
1/4≧₄√{(1/x)(1/y)(1/z)(1/w)}
₄√(1/xyzw)≦1/4
₄√(xyzw)≧4
両辺を4乗して
xyzw≧256
等号成立は
1/x=1/y=1/z=1/w
すなわち
x=y=z=w=4のとき
よって
x=y=z=w=4のとき
xyzwの最小値は256

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2018/5/1415:00:12

(2)は左の部分を右の部分と同じようにして以上である事を証明すれば良い。

(3)は図にして考えても良い。

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