先生、こんばんは！

※cosφ、解明しました。 当初返信：2018/7/7 06:45:56

私宛の個人的な問いかけとしてお応えします。
ーーー
今夜、塾に行ってみると、洪水注意報で道路が水浸しの中を、小6の男の子が、靴をずぶぬれにして一人来てたので、靴下と靴を電子レンジでチンさせました。裸足のままで勉強頑張ってくれたので、帰りに自宅まで車で送ってあげたりして、24時過ぎて、ようやく、あなたから聞いてたURLを開いてみました。
丁寧に考えて打ち込んでたら、洪水にならず、夜明けです。
ーーー
放物線のS1≠Sの関係は、あなたに限らず、
誰もが、ん？と思うことでしょう。
放物線の面積S1やSではなくて、この文献では
放物線を回転した体積VやV1と書くべきだったんです。
放物線の面積を塗り潰して、完全に面積と思い込み、
S1やSと描いてあるから、センター技に必須の
面積積分S=S1を全く意識出来てない粗い文献です。
あまり参考になりません。(すみません) でも、
◆体積＊cosφの趣旨は、くみ取れるだろうと思っております。
ーーー
実際は面積:S=S1なのに、ん？と思ったので、
一斉、そのサイトは読まずに。(すみません)
◆体積＊cosφの論理を独自に導いてみました。

※何故S=S1なのか？のセンター解法は後述します。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

◆回転軸:y＝g(x)＝tanφ･xの周りに、曲線:y＝f(x)を回転させる。

曲線:y＝f(x)上の点P(x,y)を回転させるときに、
点Pから真上の長さ:K={g(x)－f(x)}に対して、
回転半径:r＝K･cosφであり
回転半径:rの断面が回転軸方向に移動する微小量をdLとして、
dx＝dL･cosφ 及び dy＝dL･sinφ です。
ーーー
回転してできる薄い円盤の体積dVは、
dV＝(π･r^2)･dL
＝π･(K･cosφ)^2･dL
＝π･(K^2)･(dL･cosφ)･cosφ
＝π･(K^2)･dx･cosφ
＝dW･cosφ とおいて
ーーー
dW＝π･(K^2)･dx
＝π･{g(x)－f(x)}^2･dx
＝2π･{g(x)－f(x)}/2･{g(x)－f(x)}･dx と書き換えれば、
曲線の縦:h＝{g(x)－f(x)}
微小面積:dS＝h･dx＝{g(x)－f(x)}･dx
dSの重心のx軸周りの回転半径:r＝{g(x)－f(x)}/2 であり、
ーーー
◆曲線:y={g(x)－f(x)}をx軸の周りに回転した薄い体積◆を表してる。
縦長の細い面積:dS＝{g(x)－f(x)}･dx を
その面積の重心:r＝{g(x)－f(x)}/2 に集めて、
その重心をｘ軸の周りに半径rで回転させた薄い円盤の体積です。
ーーー
V＝∫[ｘ＝α～β]dV
＝∫[ｘ＝α～β]dW･cosφ
ーーー
W＝∫[ｘ＝α～β]dW
＝∫[ｘ＝α～β] 2π･{g(x)－f(x)}/2･{g(x)－f(x)}･dx これは
◆曲線:y={g(x)－f(x)}をx軸の周りに回転した体積◆ です。
ーーー
V＝W･cosφ
V：◆回転軸:y＝g(x)＝tanφ･x 周りの回転体の体積◆
W：◆曲線:y={g(x)－f(x)}をx軸の周りに回転した体積◆
ーーーーーーーー
論理ミスなどありましたら、お知らせください。◎┓

これ以降は、今回の発端となった体積：S≠S1に対して、
◆面積:S=S1となる大切なセンター技を述べておきます。
◆面積:S=S1を知ってたら、僅か3行で積分できるからです。