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解析学の質問です

ins********さん

2018/7/1600:14:38

解析学の質問です

(2)の証明と、(4)でf(z)が定数関数であることはリュウビルの定理から示せると思いますが、u(x,y)が定数関数であることを示す方がよく分かりません。解説よろしくお願いします。

定数関数,x-y,リュウビル,sy,定理,解析学,0 y

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ベストアンサーに選ばれた回答

ts3********さん

2018/7/1914:55:44

(2) ∫_0^y (∂v/∂x)(0,t) dt は x で微分するときは定数扱い。また、-∫_0^x (∂u/∂y)(s,y) ds を x で微分すると、(∂u/∂y)(x,y)。
よって、
v(x,y)=-∫_0^x (∂u/∂y)(s,y) ds + ∫_0^y (∂u/∂x)(0,t) dt
を x で微分して
(∂v/∂x)(x,y)=-(∂u/∂y)(x,y)

次に、
(∂v/∂y)(x,y)=-∫_0^x (∂^2u/∂y^2)(s,y) ds+(∂u/∂x)(0,y)
となるが、(∂^2u/∂y^2)(s,y)=-(∂^2u/∂x^2)(s,y) であるので
(∂v/∂y)(x,y)=∫_0^x (∂^2u/∂x^2)(s,y) ds+(∂u/∂x)(0,y) …①
ここで、
∫_0^x (∂^2u/∂x^2)(s,y) ds=[(∂u/∂x)(s,y)]_0^x=(∂u/∂x)(x,y)-(∂u/∂x)(0,y)
に注意すれば、①より
(∂v/∂y)(x,y)=(∂u/∂x)(x,y)
を得る。

(4) 「f(z)が定数関数であることはリュウビルの定理から示せる」
おっしゃる通り。

f(z)=u(x,y)+iv(x,y) が定数関数ならば、f(z)~ も定数関数で( ~ は複素共役の意味)
u(x,y)=(1/2)(f(z)+f(z)~)
も定数関数。

質問した人からのコメント

2018/7/19 16:59:14

度々私の質問に答えて下さり、かつ丁寧な解説をして頂いて本当にありがとうございます。理解できました。

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