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f(x,y)=x²+xy+y²-1 f(x,y)=0 の定める陰関数y=φ(x)についてy',y"を求めよ こ...

mus********さん

2018/8/216:30:45

f(x,y)=x²+xy+y²-1
f(x,y)=0
の定める陰関数y=φ(x)についてy',y"を求めよ

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mus********さん

x²+xy+y²-1=0

両辺をxで微分 2x+y+xy´+2yy´=0

y´=-(2x+y)/(x+2y) …①

両辺をさらにxで微分

y“=-{(2x+y)´(x+2y)-(2x+y)(x+2y)´}/(x+2y)²

={-(2+y´)(x+2y)+(2x+y)(1+2y´)}/(x+2y)²

=3(xy´-y)/(x+2y)² ← ①を代入、整理

=-6(x²+xy+y²)/(x+2y)³=-6/(x+2y)³


◆f(x,y)=0 両辺をxで微分

fx+fyφ´=0

φ´=-fx/fy

両辺をさらに x で微分

φ“={(-fx)´fy+fx(fy)´}/fy²

={-(fxx+fxyφ´)fy+fx(fxy+fyyφ´)}/fy² ← φ´=-fx/fy

={(-fxxfy+fxyfx)fy+fx(fxyfy-fyyfx)}/fy³

=(2fxyfxfy-fxxfy²-fyyfx²)/fy³


x²+xy+y²-1=0


fx=2x+y
fy=x+2y

fxx=fyy=2
fxy=1

φ´=□

φ“={2(2x+y)(x+2y)-2(x+2y)²-2(2x+y)²}/(x+2y)³

=-6(x²+xy+y²)/(x+2y)³=-6/(x+2y)³


http://m.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2%2Bxy%2By%C2%B2-1%3D0%2C2...

質問した人からのコメント

2018/8/3 12:16:24

ありがとうございました

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