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解き方があってるのかわからないベクトル解析の面積分を求める問題です。

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ID非公開さん

2018/8/610:58:40

解き方があってるのかわからないベクトル解析の面積分を求める問題です。

図のような斜線部分のベクトル関数uの面積分を求めたいのですが

n=1/√2(1、1、0)
で内積をとり
その後計算しました。
答えが4/3になるはずなのですがなりません。
どこが間違っているのでしょうか?

ベクトル,内積,dxdz,ベクトル関数u,ベクトル解析,解き方,単位法線ベクトルn

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ベストアンサーに選ばれた回答

suz********さん

2018/8/714:17:40

斜線の平面Sの式は、x+y=1.....①

よって、

この式から法線ベクトルの1つ=(1,1,0)とわかります。

よって、

面Sの単位法線ベクトルn↑=(1/√2)(1,1,0).....②

今、

単位法線ベクトルn↑がx軸、y軸、z軸となす角をそれぞれ

α、β、γとすると、

単位法線ベクトルn↑の方向余弦=(cosα、cosβ、cosγ)

で②と比較して、cosα=1/√2、cosβ=1/√2、cosγ=0

次に、

面Sをxz平面に正射影した領域Dを求めると、1辺が1の正方形となります。

よって、

D={(x,z)|0≦x≦1, 0≦z≦1}

面S上の積分を面D上の積分に変換します。

この時、

面D上の微小面積をdxdz, それに対応する面S上の微小面積dS

とすると、

dS*cosβ=dxdz

つまり、

dS=(1/cosβ)dxdz=√2dxdz

の関係があります。

よって、

問題の積分

=.......

=(1/√2)∫[S](2x+y^2)dS

=(1/√2)∫[D](2x+y^2)√2dxdz

=∫[D](2x+y^2)dxdz

ここで、①式より、yを消去して、

=∫[D]{2x+(1-x)^2}dxdz

=∫[D]{x^2+1}dxdz

=∫(0→1)dx∫(0→1)(x^2+1)dz

=∫(0→1)(x^2+1)dx∫(0→1)dz

=∫(0→1)(x^2+1)dx*{z}(0→1)

=∫(0→1)(x^2+1)dx*1

={x^3/3+x}(0→1)

=4/3

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