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実数x,y,z,aが x+y+z=a x^2+y^2+z^2=a^2-2a+14 x^3+y^3+z^3=a^3-3a^2+3a+18

ryo********さん

2018/8/1121:19:48

実数x,y,z,aが
x+y+z=a
x^2+y^2+z^2=a^2-2a+14
x^3+y^3+z^3=a^3-3a^2+3a+18

を満たし、x,y,z,のうち少なくとも2つが等しいとき、x,y,z,aを求めよ。
答え a=4のとき (x,y,z)=(3,3,-2),(3,-2,3),(-2,3,3)
a=-1のとき (x,y,z)=(3,-2,-2),(-2,3,-2),(-2,-2,3)
という問題がわかりません。詳しいとき方が知りたいです。

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sak********さん

2018/8/1121:59:35

x+y+z=a・・①

x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+zx)=a²-2a+14
a²-2(xy+yz+zx)=a²-2a+14 から
xy+yz+zx=a-7・・②

x³+y³+z³
=x³+y³+z³-3xyz+3xyz
=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)+3xyz=a³-3a²+3a+18、
これに①②などを代入して
a(a²-2a+14-a+7)+3xyz=a³-3a²+3a+18 から、
xyz=-6a+6・・③

①②③から、x,y,zは
t³-at²+(a-7)t-6a+6=0 の3解なので、これを因数分解して、
(t+2)(t-3)(t-a+1)=0
よって、3解は、t=-2、3、a-1
このうち2つが等しいので、
-2=a-1 のとき、a=-1、3=a-1のとき、a=4

以上をまとめると、
a=-1のとき、 (x,y,z)=(3,-2,-2),(-2,3,-2),(-2,-2,3)
a=4のとき、 (x,y,z)=(3,3,-2),(3,-2,3),(-2,3,3)

質問した人からのコメント

2018/8/11 22:04:25

ありがとうございます。
わかりやすい説明で納得することができました.

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hir********さん

2018/8/1122:02:45

x+y+z=a ‥‥①、x^2+y^2+z^2=a^2-2a+14 ‥‥②
x^3+y^3+z^3=a^3-3a^2+3a+18 ‥‥③

②において、x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=
①より=a^2-2(xy+yz+zx)=a^2-2a+14
従って、xy+yz+zx=a-7

③において、(x^3+y^3+z^3-3xyz)+3xyz=
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz=
a(a^2-2a+14+7-a)+3xyz=a^3-3a^2+3a+18
従って、 xyz=6-6a

この時、x、y、zは、
3次方程式:t^3-at^2+(a-7)t+6a-6=0、の3つの解。
これは因数分解出来て、(t-3)(t+2)(t+1-a)=0
xとyが重解としても一般性を失わない。

・x=y=3の時、
①より、z=a-6、だから、これらを②に代入すると、a=4
従って、z=a-6=-2.
・x=y=-2の時、
①より、z=a+4、だから、これらを②に代入すると、a=-1
従って、z=a+4=3.
・x=y=a-1の時、
①より、z=2-a、だから、これらを②に代入すると、a=-1、4
従って、z=2-aだから、z=3、-2.
この時、x=y=a-1、だから、x=y=2、or、-3.

lh5********さん

2018/8/1121:58:19

detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11152498411

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