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至急お願いします!!!

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ID非公開さん

2018/8/1516:11:01

至急お願いします!!!

この棒がもつ運動エネルギーを求めたいです
しかし回転のエネルギーをどう立てれば良いかわからないです。運動エネルギーを求めた後にラグランジュで運動方程式を出させる問題です

質量mで長さ2Lの剛体棒をAに回転できるようにつないであります。Aはyの方向に動きます

重心の座標は
(LcosΘ,y+LsinΘ)
なので
(L,LΘ)として微分して(vx、vy)=(0、LdΘ/dt)となり
並進の運動エネルギーはわかるのですが。

答えが、1/2(Ic)(dΘdt)^2を足し合わせたもので表現されていました。
(Icはcを中心とする慣性モーメントです)
なぜIc中心なのでしょうか?Aで回転するからA中心の慣性モーメントをかけるべきでは?ないのでしょうか

慣性モーメント,運動エネルギー,ラグランジュ,並進,Lcos

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chi********さん

2018/8/1709:43:33

剛体の運動は重心の運動と、重心まわりの回転運動で表されます。
運動エネルギーも重心の運動エネルギーと重心まわりの回転運動エネルギーの合計になります。

とりあえずAはy方向に動かないとして考えると、
重心の運動はAまわりに回転しているので
重心の速さ v は
v = Ldθ/dt
運動エネルギーは
(1/2)mv² = (1/2)mL²(dθ/dt)²
重心まわりの回転運動の運動エネルギーは
(1/2)Ic(dθ/dt)²
合計運動エネルギーは
K = (1/2)Ic(dθ/dt)² + (1/2)mL²(dθ/dt)²
= (1/2)(Ic+mL²)(dθ/dt)²

Aのまわりで回転するとして、運動エネルギーを求めることも可能です。
その場合、Aまわりの慣性モーメント IAは
平行軸の定理より
IA = Ic+mL²
となりますから回転運動エネルギーは
K = (1/2)IA(dθ/dt)²
= (1/2)(Ic+mL²)(dθ/dt)²
となって結局同じです。
(計算結果は、Aが動かない場合)

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    質問者

    ID非公開さん

    2018/8/1712:04:59

    Aの周りで回転するとして考えると
    重心の運動エネルギーを考えずに
    A周りの回転運動エネルギーだけで

    重心で考える時は
    重心の運動エネルギーと重心の回転エネルギーの和
    ということですね。
    どうして前者は重心のエネルギーは関係ないのでしょうか??
    なんかモヤモヤします

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hor********さん

2018/8/1712:02:15

この問題ではAが固定点ではなく動くので、Aを中心とする回転運動は並進運動と分離ができません。なので、この場合は重心を回転中心として、重心運動と重心まわりの回転運動に運動を分離します。

これは剛体運動を扱う場合の鉄則です。固定点がない場合は重心以外を回転中心には取れません。

Aまわりの回転で解きたいなら、Aとともに並進する加速度座標系で運動を記述し、
座標系の加速度並進に伴う慣性力をラグランジアンではなく一般化力としてラグランジュの運動方程式に入れる。

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