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(1)~(5)教えてください 静止流体中でばね定数kの軽いばねの一端を天井に固定し、...

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ID非公開さん

2018/10/2400:00:28

(1)~(5)教えてください
静止流体中でばね定数kの軽いばねの一端を天井に固定し、他端に質量m、半径aの球状おもりを取り付けるとばねはその自然長から伸びて静止した。

続いておもりを静止状態から鉛直下方に距離Aだけ引き下げて静かに放した。重力加速度の大きさをg、おもりには速さに比例した粘性抵抗力が働くものとして、問いに答えよ。
(1)おもりが静止している状態で、ばねの自然長からの伸びはいくらか。
(2)おもりを自然長からAだけ引き下げた後、静かにおもりを放した時刻をt=0として、時刻tにおけるおもりに関する運動方程式をかけ。ただし、つり合い位置を原点と定め、鉛直下向きにz軸を設定し、おもりに働く粘性抵抗力は、bを正の定数として、-bvzとあらわされるものとする。
(3)運動方程式の振動する解は、時刻tの関数としてどのように表されるか。(位置z(t)および速度dz(t)/dtお関数形を求めよ)。
(4)おもりの質量をm=0.08kg、ばね定数をk=2N/mとして、固有振動数ω₀を計算せよ。
(5)粘性係数ηの流体中を速さvで運動する半径aの球状物体に働く粘性抵抗力の係数bは、b=6πaηで与えられる。理科年表によると、空気の25℃における粘性係数は、η=18.2×10⁻⁶Pa・sである。半径a=3cmn球場おもりに関する係数bを算出せよ。

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静止流体中でばね定数kのばねの一端を天井に固定、他端に質量m、半径aの球状おもりを取り付けるとばねはその自然長から伸びて静止。

おもりを静止状態から鉛直下方に距離Aだけ引き下げて静かに放した。おもりには速さに比例した粘性抵抗力が働く

(1) おもりが静止している状態で、ばねの自然長からの伸びはいくらか。

mg-kz₀=0

z₀=mg/k


(2)おもりを自然長からAだけ引き下げた後、静かにおもりを放した時刻をt=0として、時刻tにおけるおもりに関する運動方程式をかけ。つり合い位置を原点、鉛直下向きにz軸を設定、おもりに働く粘性抵抗力は-b(vz)(b:正の定数)

mz“=mg-k(z₀+z)-b(vz) ← z₀=mg/k

すなわち mz“=-kz-b(vz)


(3) 運動方程式の振動する解は、時刻tの関数としてどのように表されるか。(位置z(t)および速度dz(t)/dtお関数形を求めよ)。

二階線形微分方程式 mz“+bz´+kz=0 (0<z)

式を観察するとzは「微分しても形の変わらない関数」つまり指数関数であることがわかる。z=e^(λt) とおき、原式に代入

mλ²+bλ+k=0(特性方程式)

振動する解だから D=b²-4mk<0

*D=0のとき臨界減衰、D>0のときは過減衰

λ=(-b±i√-D)/(2m)=-γ±iΩ 〔γ=b/(2m),Ω=√(-D)/(2m)〕

よって基本解は e^(‐γ±iΩ)t

オイラーの公式 e^ix=cosx+isinx を使うと

(sinΩt)e^‐γt , (cosΩt)e^‐γt

重ね合わせの原理より一般解は基本解の一次結合(線形結合)

z=(C₁sinΩt+C₂cosΩt)e^-γt

初期条件 z(0)=A より C₂=A

∴z=(C₁sinΩt+AcosΩt)e^-γt

z´(0)=0 より C₁=γA/Ω

z=A{cosΩt + (γ/Ω)sinΩt}e^-γt


(4) おもりの質量 m=0.08kg、ばね定数 k=2N/m

mz“ = -kz より z“=-ω₀²z

ω₀ = √(k/m)=□


(5) 粘性係数ηの流体中を速さvで運動する半径aの球状物体に働く粘性抵抗力の係数bは、b=6πaη。空気の25℃における粘性係数 η=18.2×10⁻⁶Pa・s。半径a=3cmn球場おもりに関する係数bを算出。

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