高校数学 微分

高校数学 微分 解説お願いします。

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1)ひたすら計算します。。。 f(x)={(x^2+1)/2}log{(x^2+1)/2}+(x−1)^2/2−x^2logx f'(x)={(x^2+1)/2}'log{(x^2+1)/2}+{(x^2+1)/2}〔log{(x^2+1)/2}〕'+(x−1)−{(x^2)'logx+x^2(logx)'} ={x・log{(x^2+1)/2}+{(x^2+1)/2}〔1/{(x^2+1)/2}〕{(x^2+1)/2}'+(x−1)−{2x・logx+x^2(1/x)} ={x・log{(x^2+1)/2}+1・(x)+(x−1)−(2x・logx+x) ={x・log{(x^2+1)/2}+x−2x・logx−1 f''(x)={x・log{(x^2+1)/2}'+1−2{x・logx}' =(x)'・log{(x^2+1)/2}+x〔log{(x^2+1)/2〕'+1−2{(x)'・logx+x・(logx)'} =log{(x^2+1)/2}+x{1/(x^2+1)/2〕((x^2+1)/2)'+1−2{logx+1} =log{(x^2+1)/2}+x{1/(x^2+1)/2〕x−2logx−1 =log{(x^2+1)/2}+2x^2/(x^2+1)−logx^2−1 =log{(x^2+1)/2}−2/(x^2+1)−2logx+1 f'''(x)=2x/(x^2+1)+4x/(x^2+1)^2−2/x =2(x^2−1)/{x(x^2 + 1)^2} f'''(x)〔x>0〕に関して 0<x<1で f'''(x)<0:f''(x)は減少 x=1で f'''(x)=0:f''(x)は極小かつ最小 x>1でf'''(x)>0 :f’’(x)は増加 よって f''(x)≧f''(1)=log{(1^2+1)/2}−2/(1^2+1)−2log1+1=0 f''(x)について以上の計算から 0<x<1で f'' (x)>0 f'(x)は増加 x=1で f''(x)=0 x>1で f''(x)>0 f'(x)は増加 f’(x)を微分した f''(x)がx>0において x=1以外では正の値なので f'(x)はx>0で単調増加 2)1)よりf'(x)は単調増加であり、 f'(1)={1・log{(1^2+1)/2}+1−2・log1−1=0 であるから 0<x<1で f'(x)<0: f(x)は減少 x=1 で f'(x)=0:f(x)は極小かつ最小 x>1 で f'(x)>0 :f(x)は増加 だから f(x)≧f(1)={(1^2+1)/2}log{(1^2+1)/2}+(1−1)^2/2−1^2log1=0 3)2)よりx=p/q>0を代入すると f(x)≧0 {((p/q)^2+1)/2}log{((p/q)^2+1)/2}+((p/q)−1)^2/2−(p/q)^2log(p/q)≧0 両辺に」q^2>0を掛ける {(p^2+q^2)/2}log{((p/q)^2+1)/2}+(p−q)^2/2−p^2log(p/q)≧0 ⇄ {(p^2+q^2)/2}log{(p^2+q^2)/(2q^2)}+(p−q)^2/2−p^2log(p/q)≧0 ⇄ {(p^2+q^2)/2}log{(p^2+q^2)/2}−{(p^2+q^2)/2}log(q^2)+(p−q)^2/2−(p^2/2)log(p/q)^2≧0 ⇄ {(p^2+q^2)/2}log{(p^2+q^2)/2}−{(p^2+q^2)/2}log(q^2)+(p−q)^2/2−(p^2/2){log(p^2)−log(q^2)}≧0 ⇄ {(p^2+q^2)/2}log{(p^2+q^2)/2}≧−(p−q)^2/2+{p^2log(p^2)+q^2log(q^2) }/2 m(._.)m

ThanksImg質問者からのお礼コメント

ありがとうございますm(_ _)m

お礼日時:2018/11/18 15:41