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正四面体ABCDの4つの頂点をPが次のルールで動く。

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ID非公開さん

2018/12/115:24:32

正四面体ABCDの4つの頂点をPが次のルールで動く。

(a)最初PはAにある。
(b)1秒後にPは確率2/5で今ある頂点に留まり、
等確率1/5で隣接する3頂点のいずれかに移動する。
このとき、n秒後にPがAにある確率Pnを求めよ。

この問題を教えてください。
答えはPn=1/4{1+3(1/5)^n}になります。

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ベストアンサーに選ばれた回答

chi********さん

編集あり2018/12/116:43:27

確率漸化式の問題ですね。
誘導形式になっていることも多いですが、この出し方だと解き方を知らないとかなり厳しいと思います。
手順としては、
(1)P1を求めます。
(2)P(n+1)をPnを用いて表します。
(3)漸化式からPnを求めます。
では、実際に解いてみましょう。

(1)P1=2/5

(2)n秒後にPがA以外の点に
ある確率は、(1-Pn)であり、
n+1秒後にPがAにあるのは
次の2通りである。
[1]n秒後にPがAにあり、そのままAに留まる時
[2]n秒後にPがA以外にあり1秒後にAに移動する時
したがって、
P(n+1)=2/5・Pn + 1/5・(1-Pn)
=2/5・Pn +1/5- 1/5・Pn
=1/5Pn+1/5

(3)P(n+1)=1/5+1/5Pnを変形して
P(n+1)-1/4=1/5(Pn-1/4)
数列{Pn-1/4}は
初項2/5-1/4=3/20、公比1/5の等比数列だから、
Pn-1/4=3/20・(1/5)^(n-1)
=3/4・1/5・(1/5)^(n-1)
=3/4・(1/5)^n
したがって、
Pn=1/4+3/4・(1/5)^n
=1/4{1+3・(1/5)^n}

わからないところがあれば気軽に質問どうぞ!

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質問した人からのコメント

2018/12/6 18:53:18

とてもわかりやすかったです!ありがとうございます!

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