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数学の証明問題についての質問です ⑴3点A(x1,y1)B(x2,y2),C(x3,y3)について、三...

hanakoさん

2018/12/1017:14:58

数学の証明問題についての質問です

⑴3点A(x1,y1)B(x2,y2),C(x3,y3)について、三角形ABCの重心Gの座標を求めよ
⑵4点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)のうちの任意の3点を頂点とする三角

形の重心と他の1点とを結ぶ線分は同一の点を通ることを示せ

よろしくお願いします

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ベストアンサーに選ばれた回答

光明さん

2018/12/1017:48:54

(1)
A,Bの中点Mの座標は((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)・・・①
Gは線分MCを1:2に内分する点だから、
xG=[2{(x1+x2)/2}+x3]/(1+2)=(x1+x2+x3)/3
yGも同様。
よって、G((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)

(2)
位置ベクトルを用いて考える。

△ABCの重心をGとすると、↑g=(↑a+↑b+↑c)/3
線分GDを1:3に内分する点をHとすると、
↑h=(3↑g+↑d)/(1+3)=(↑a+↑b+↑c+↑d)/4・・・②

△BCDの重心をG’とすると、↑g’=(↑b+↑c+↑D)/3
線分G’Aを1:3に内分する点をH’とすると、
↑h’=(3↑g’+↑a)/(1+3)=(↑a+↑b+↑c+↑d)/4・・・③
②,③より、↑h’=↑h ∴ HとH’は一致する。

△ABD,△ACDについても同様。

質問した人からのコメント

2018/12/10 21:45:56

助かりました!ありがとうございます!

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