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P(Xn=k/n)=1/n、k=1.2......n

ybo********さん

2018/12/1815:14:01

P(Xn=k/n)=1/n、k=1.2......n

で与えられる確率変数として、n→∞の時、Xnの分布は(0.1)上の一様分布に弱収束することを示したいです!教えてください!

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qas********さん

2018/12/2022:45:16

Xnの分布関数をFn、一様分布U(0, 1)の分布関数をFとおくと、0 ≦ x ≦ 1 のとき
Fn(x) = P(Xn ≦ x)
= P(k/n ≦ x)
= P(k ≦ nx)
= [nx] ([・]はガウス記号)
であるので、
|Fn(x) - F(x)| = |[nx]/n - x| ≦ 1/n → 0 (n → ∞)
x < 0 又は 1 < x のときは
|Fn(x) - F(x)| = 0
よって、Xnは一様分布 U(0, 1) に弱収束する。

ベストアンサー以外の回答

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bou********さん

2018/12/1821:46:02

問題を次のように書き換える。
0≦x≦1に対し、
関数列
f_n(x)=x/nが
f(x)=0に一様収束することを示す。
|f_n(x)−f(x)|=x/n≦1/n
したがって、
limsup|f_n(x)−f(x)|=0 (n→∞)
よって、一様収束する。

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