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微積分でつまずいてます。 熱力学の解説にて、微積分を用いた説明があるのですが...

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ID非公開さん

2019/1/1915:01:51

微積分でつまずいてます。
熱力学の解説にて、微積分を用いた説明があるのですが
理想気体の断熱変化のところで以下の式が出てきました。

kdV/V+dP/P=0
質問1
そもそもこの式はk・1/V・dV/dt+1/P・dP/dt=0
Vをtで微分、またPをtで微分するといった意味合いで
dtを省略した形である。まず、この考え方があっていますか?
つぎにこれを積分した式が klnV+lnP=Cとあるのですが、
dV/dtこれを積分してもVになるだけと思うのですが、間違ってますか?
1/V⇔lnv(微積による結果)は理解しております。

補足微分の記号とはdx/dtのようにxをtで微分する
d△/d○ △と○がセットでないと違和感をもって
おります。dvの微小変化は何に対する変化なのでしょうか?
言い換えるとdvはvを何で微分したものなのか?
∫dx/x=ln(x)+C
これは1/xを積分するとln(x)+C
となる これはわかります。
同じく1/Vや1/Pの積分も同様にわかります。
ただし、
dV/VあるいはdP/Pを積分しても同じ結果というのが
腑に落ちないところです。

ご教授おねがいします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

sxp********さん

2019/1/1922:19:16

ある平衡状態から、微小な断熱変化をしたときの平衡状態から
P・dv+V・dp=nR・dT
(ここでのTは絶対温度)
また、熱力学第一法則より、外部との熱のやりとりがない、という条件、
および比熱比(k)を定義付けして、PVで割ると、ご質問の
kdV/V+dP/P=0
の式が導かれます。
以降の式の導入については、他の方の回答を参照ください。
(また、ポアソンの式、法則を参照ください)

従って、tという時間要素は入っていません。
理想気体、断熱変化に、時間の要素が入ってきたならば、過渡現象を考えなくてはなりません。そうすれば、気体の性質が変わったり、熱の授受が行われるようになり、理想気体でも、断熱変化でもなくなってしまいます。

以下、余談ですが、ご参考までに
一般的に、実在の気体を瞬時に変化させた場合は、断熱状態に近い挙動です。
なぜならば、気体から外部への熱授受をする時間がとても短いからです。
その後、時間経過とともに、気体の温度が外部に伝わっていきます。

ある高圧の気体が入っている容器のバルブを瞬時に開けると、下流側の端末にとても高い温度が発生します。酸素のような気体であれば、端末の金属が溶けて火災になる場合もあります。従って、高圧ガス容器のバルブ開閉はゆっくり行うようになっています。逆に、応用したものがディーゼルエンジンで、空気を圧縮して高温にしたところへ燃料を噴射します。

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質問した人からのコメント

2019/1/20 08:40:08

丁寧に解説していただき有り難うございました。

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kyo********さん

2019/1/1920:17:55

https://physnotes.jp/td/adiabatic-process/
(P,V,T) → (P',V',T') のとき
P' - P = ⊿P , V' - V = ⊿V と表して
P'V' - PV = V⊿P + P⊿V+⊿V⊿P
= V⊿P + (P+⊿P)⊿V
= V⊿P + P⊿V
と見なせるほど小さい変化の時
⊿P = dP , ⊿V = dV と表します (^^).

k02********さん

2019/1/1915:10:46

k(dV/V)+(dP/P)=0

そのまま
kln(V)+ln(P)=C
ln(PV^(k))=C
PV^(k)=一定

dx/x=ln(x)
dy/y=ln(y)

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