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核と標数について理解できてないのでご教授願います。

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ID非公開さん

2019/1/2616:39:52

核と標数について理解できてないのでご教授願います。

整数環Z,環Rに対して写像φ:Z→Rを環の準同型とする。φの核は単項イデアル環ZのイデアルであるからnZ(n∈Z,n≧0)と表せる。このとき、Kerφ={0}ならばn=0であり、Kerφ≠{0}ならばnはKerφに入る最小の正整数であり、このnをRの標数という。

①Sを環Rの部分環とし、
Kerf={x∈R,f(x)=0}とすると、
Kerf={0}とはf(x)=0を満たすようなxは0しかないよ、ってことですか?

後半部分(このとき~)について。
②①を踏まえて、Kerφは零元しかないからnZも零元しかない→n=0(0Z=0?)という考えで合ってますか?
③Kerφ≠{0}ならばnはKerφに入る最小の正整数であるというのがさっぱりわかりません。標数の定義がnは最小の正整数ですよーなら、あぁそうなんだ、で済むんですが、如何せん定義より先に最小って来ちゃってるので、なんで最小って分かるんだ?状態です。

どなたかよろしくお願いしますm(_ _)m

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ベストアンサーに選ばれた回答

2019/1/2618:24:52

①, ② については、そのように考えて問題ありません。


③ については
n∈Z, n>0 のとき、nZに属する最小の正整数は n になります。

したがって、Kerφ=nZ(n∈Z, n≧0)で、Kerφ≠{0} のとき
Kerφに属する最小の正整数は n です。

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    質問者

    ID非公開さん

    2019/1/2618:53:42

    あー、単純な話でしたね…。
    ありがとうございますm(_ _)m

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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質問した人からのコメント

2019/1/26 18:54:08

ありがとうございましたm(_ _)m

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