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ローレンツ変換の問題です。どなたか途中の計算式を教えていただけないでしょうか。

mog********さん

2019/2/320:17:08

ローレンツ変換の問題です。どなたか途中の計算式を教えていただけないでしょうか。

ある慣性系 S から眺めたとき、固有の長さ 300 m のロケットが x 軸の正方向に速さ 0.8c
で飛んでいて、速さ 0.8c で逆方向に飛んでいる隕石(大きさ無視でき、点とみなせる)と
すれ違った。隕石がロケットを通過するのに要する時間を、次のそれぞれの慣性系で求めよ。
1. ロケットの静止系
2. 慣性系 S
3. 隕石の静止系

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tas********さん

2019/2/401:13:54

S系でのロケットの先端と後端の座標をx₁,x₂とし、隕石の座標をx₃
とする。ロケットの速度、隕石の速度をv,-u(v,u>0)とする。
ロケットの固有長さ(ロケットに静止した系における長さ)をLと
する。簡単のため、t=0で、x₁=x₃=0とする。

x₁=vt , x₂=x₀+vt , x₃=-ut ・・・・①
となる。

ロケットの慣性系をS'として、S系の各座標に対するS'系の座標を
求める。まず、
t=t'=0 で x₁'=0, x₂'=γ(v)(x₂-vt)=γ(v)x₀
t'=0 で測定した、(x₁'-x₂')は定義からLなので、x₀=-L/γ(v)
となり、①は

x₁=vt , x₂=-L/γ(v)+vt , x₃=-ut・・・・①'
となる。

1.
ロケットの先端を隕石が通過する時刻は t''=0と合わせたので、ロ
ケットの後端の通過時刻t'がS'系でロケットを通過する時刻となる。

➀'から
x₂'=γ(v)(x₂-vt)=γ(v)(-L/γ(v)+vt-vt)=-L (当然)
x₃'=γ(v)(-ut-vt)=-γ(v)(u+v)t

x₃'=x₂'(=-L) のとき、後端を通過するから、
t=(L/γ(v))/(u+v)・・・・②
である。
この時の x₂'=-L においてのS系での時刻は
t=γ(v)(t'+vx₂'/c²)=γ(v)(t'-vL/c²)
➁に入れて

t'=vL/c²+L/{(u+v)γ(v)²}=L(1+uv/c²)/(u+v)
となる。これが求めるロケットの通過時間となる。

なお、これはS'系における隕石の速度は -(u+v)/(1+uv/c²) になり、
これで、S'系のロケットの長さLを割ったものになっている。

2.
t=0 で先端を通過するから、後端で x₂=x₃となる時刻が通過時間と
なる。➀'から
t=L/{γ(v)(u+v)}
である。

これは、S系でのロケット長L/γ(v)を相対速度(u+v)で割ったもの
になっている。

3.
隕石の慣性系をS''とする。この時も、t=t''=0 で x=x''=0 である。
➀'から
x₃''=γ(u)(x₃+ut)=0 (当然)
x₂''=γ(u)(x₂+ut)=γ(u)(-L/γ(v)+vt+ut)=γ(u){-L/γ(v)+(v+u)t}
これも x₂''=x₃''(=0) となる時刻に、後端をロケットの通過する。
この時刻はS系で
t=L/{γ(v)(v+u)}・・・・・③
S''系の時刻は(x''=0での)

t=γ(u)(t''-ux''/c²)=γ(u)(t''-u・0/c²)=γ(u)t''
となり、➂から
t''=L/{γ(v)γ(u)(v+u)}
が、S''系でのロケットを通過する時間となる。

ちなみに、S''系から見た、ロケットの速度は w=(v+u)/(1+uv/c²)
となり、
γ(v)γ(u)=γ(w)/(1+uv/c²)
となるので、S''系でのロケット長 L/γ(w) をロケットの速度 wで
割ったものになっている。

質問した人からのコメント

2019/2/4 20:00:34

ありがとうございました。

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