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平面上の3点(x1 , y1) , (x2 , y2) , (x3 , y3)を頂点とする三角形の面積Sが『S = ...

soc********さん

2019/3/512:51:56

平面上の3点(x1 , y1) , (x2 , y2) , (x3 , y3)を頂点とする三角形の面積Sが『S = (abs|A|)/2』と表されることの証明を教えてください。

ただし、

A=
1 1 1
x1 x2 x3
x1 y2 y3

であり、abs|A|はAの行列式の絶対値を表します。

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ベストアンサーに選ばれた回答

mat********さん

編集あり2019/3/515:13:23

平面上の三角形の面積は高校数学で学習しているはずですが。

a1=x2-x1,b1=y2-y1,a2=x3-x2,b2=y3-y2 として、
p→=(a1,b1),q→=(a2,b2) とします。
S=(1/2)√{|p→|^2|q→|^2-(p→・q→)^2}
に代入すれば、
S=(1/2)|a1b2-a2b1|
が得られ、x1〜x3,y1〜y3 に戻せば与式が得られます。

質問した人からのコメント

2019/3/6 12:39:31

お二方ともご回答ありがとうございましたm(_ _)m

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

ysb********さん

2019/3/516:04:01

A(x1,y1)
B(x2,y2)
C(x3,y3)
とおくと、
直線BCの方程式は、(y2,y3)(x-x3)-(x2,x3)(y-y3)=0
また、BC=√{((y2,y3)²+(x2,x3)²}
Aから直線BCまでの距離hは、
h={(y2,y3)(x1-x3)-(x2,x3)(y1-y3)}/√{((y2,y3)²+(x2,x3)²}
だから、三角形ABCの面積Sは、
S=(1/2)BC×h
=(1/2)abs{(y2-y3)(x1-x3)-(x2-x3)(y1-y3)}
=(1/2)abs
|(x1-x3) (y1-y3)|
|(x2-x3) (y2-y3)|

=(1/2)abs
|(x1-x3) (y1-y3) 0|
|(x2-x3) (y2-y3) 0|
|x3 y3 1|

=(1/2)abs
|x1 y1 1|
|x2 y2 1|
|x3 y3 1|

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