1️⃣ チェバの定理、メネラウスの定理

1️⃣ チェバの定理、メネラウスの定理 図の△ABCにおいて、AB=3、AC=2 とする。∠BACの二等分線と辺BCとの交点をD、辺ACの中点をE、ADとBEの交点をPとし、直線CPと辺ABの交点をFとする。このとき、AF=◽︎分の◽︎であり、BP=◽︎PE である。 この問題の解き方と答えを教えてください!!

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角の二等分の性質よりBD:DC=3:2 メネラウスの定理 (AP/PD)(3/5)(1/1)=1 AP/PD=5/3 AP:PD=5:3 チェバの定理 (AF/FB)(3/2)(1/1)=1 AF/FB=2/3 AF:FB=2:3 よって AF=(2/5)AB=6/5 メネラウスの定理 (BP/PE)(1/2)(2/3)=1 BP/PE=3/1 BP:PE=3:1 BP=3PE

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点Dは∠BACの二等分線と辺BCとの交点なので、角の二等分線の性質から、 BD:DC=AB:AC=3:2 が成り立ちます。 これにより、BD/DC=3/2とできます。 また、点Eは辺ACの中点なので、CE=EAとなり、ここからCE/EA=1及びEC/CA=1/2が成り立ちます。 △ABCについて、チェバの定理により (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 が成り立ちます。 BD/DC=3/2、CE/EA=1を代入すると、 (AF/FB)×(3/2)×1=1 より、 AF/FB=2/3 と求められます。 これは、AF:FB=2:3であることを表しているので、これを用いると、 AF={2/(2+3)}×AB=(2/5)×3=6/5 と求められます。 また、△ABEと線分FCについてメネラウスの定理により、 (AF/FB)×(BP/PE)×(EC/CA)=1 が成り立ちます。 AF/FB=2/3、EC/CA=1/2を代入すると、 (2/3)×(BP/PE)×(1/2)=1 より BP/PE=3 と求められます。 これにより、BP=3PEとできます。