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フィボナッチ数列 一般項を求めずにフィボナッチ数列の隣り合う項の比が収束す...

nyn********さん

2019/3/2200:00:40

フィボナッチ数列

一般項を求めずにフィボナッチ数列の隣り合う項の比が収束することを示すのは可能でしょうか?

黄金比に収束することまではいう必要はないです。

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mel********さん

2019/3/2623:05:07

F[n+2]=F[n+1]+F[n]

F[n+2]/F[n+1]*F[n+1]/F[n]=F[n+1]/F[n]+1

R[n]:=F[n+1]/F[n]

R[n+1]R[n]=R[n]+1

R[n+1]=1+1/R[n]

φを黄金比として

R[n+1]-φ=1/R[n]-1/φ

平均値の定理から

=-(R[n]-φ)/c[n]^2 (c[n]はφとR[n]の間)

n≧2で3/2≦R[n]≦2が帰納的に分かるのでn≧2で

|R[n+1]-φ|≦(4/9)|R[n]-φ|

よりR[n]→φ

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質問した人からのコメント

2019/3/28 21:55:57

ありがとうございました。

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