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正四面体ABCDで、面BCDとABとのなす角は60度ですか?

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ID非公開さん

2019/4/617:46:13

正四面体ABCDで、面BCDとABとのなす角は60度ですか?

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wes********さん

2019/4/618:20:47

60度ではありません。

面と直線のなす角というものは、直線上の任意の点(ここではA)から面に下した垂線と、直線と、面とでできる角のことです。

Aから平面BCDに垂線を引きます
この垂線と平面BCDとの交点をGとおきます。

正四面体A-BCDのAから平面BCDに下した垂線と、平面BCDとの交点Gは、正三角形BCDの重心であるという性質を持っています。

ここで、正四面体の一辺の長さを1とおきます。
直線BGと直線CDの交点をHとします。
----------------
角ABG=角ABH
なので、角ABHをこれから求めます
----------------

BH=1×(√3)/2=(√3)/2…ルートが見にくいため、一応括弧をつけてます
AH=BH

余弦定理を用いて
AH²=AB²+BH²-2AB・BH・cos角ABH
よって角ABH=
-AH²+AB²+BH²/2AB・BH=cos角ABH
それぞれの値を代入して
cos角ABH=(-3/4+1+3/4)/2×1×(√3)/2
=1/(√3)
≒0.5773…

三角関数表に当てはめると
55度とちょっと
といったところでしょうか

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pcg********さん

2019/4/618:17:49

正四面体ABCDの1辺の長さをaとする。
頂点Aから底面BCDに垂線を下ろし交点をHとすると
AH=√6a/3
面BCDとABとのなす角Θは
sinΘ=AH/AB=√6/3
よって60度ではありません

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