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この問題の(2)をご教授お願いいたします

tai********さん

2019/4/2715:00:03

この問題の(2)をご教授お願いいたします

体積,det,dy,変数,dx,問題

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ベストアンサーに選ばれた回答

bib********さん

2019/4/2802:38:52

(2)
求める体積Vの集合は、
V={y=(y[1], y[2], y[3])∈R^{3}|y=Cx, |x|<=1, x=(x[1], x[2], x[3])∈R^{3}}
で、求める体積は、
∫∫∫[V]dy[1]dy[2]dy[3]

である。
今, y=Cxと変数変換すると、Jacobiの変数変換公式から、
dy[1]dy[2]dy[3]=|det(C)|dx[1]dx[2]dx[3]
となる。
すると、
∫∫∫[V]dy[1]dy[2]dy[3]
=∫∫∫[|x|<=1]|det(C)|dx[1]dx[2]dx[3]
=|det(C)|∫∫∫[|x|<=1]dx[1]dx[2]dx[3]
=|det(C)|・(半径1の球の体積)
=6・(4/3)π
=8π
となる。

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